11、无向平面图中最大流相关问题研究

无向平面图中最大流相关问题研究

在图论领域，无向平面图中的最大流问题以及相关的边和顶点活力计算问题一直是研究的热点。本文将详细探讨无向平面图中最大流的边和顶点活力计算问题，以及非交叉最短路径的相关算法。

1. 非交叉最短路径

在无向平面图中，非交叉最短路径的研究有着重要的意义。在计算非交叉最短路径的过程中，我们会遇到路径表示和列举的问题。

• 路径的隐式表示 ：对于路径 $\lambda_i$，如果 $i$ 是族谱树的叶子节点，那么 $\lambda_i$ 会被显式给出。否则，我们会显式给出不属于 $\lambda_i$ 子节点的边，即 $q_i$ 路径，并通过指定 $\lambda_i$ 与其一个子节点的交集的极值顶点来给出它们的交集路径。这种表示方式由于某些特性，只需要线性空间。
• 路径列举问题 ：在执行算法 ImplicitPaths 后，我们需要列举出 $\lambda_i$ 中的边。这里，单触属性非常重要。例如，在图 8（这里未展示具体图，但文中有描述）中，(a) 部分绘制的四条最短路径不满足单触属性，而 (b) 部分是通过 ImplicitPaths 算法得到的满足单触属性的路径版本，显然在这种情况下列举路径中的边更容易。

定理 3 ：经过 $O(n)$ 时间的预处理后，对于 $i \in [k]$，每条最短路径 $\lambda_i$ 可以在 $O(\max{\ell_i, \ell_i \log \log(\frac{k}{\e