51、高效图处理算法：平面 3 - 树生成与分布式图聚类

高效图处理算法：平面 3 - 树生成与分布式图聚类

1. 平面 3 - 树生成算法

在图论中，平面 3 - 树的生成树枚举是一个重要问题。传统的通用生成树枚举算法在处理平面 3 - 树时，时间复杂度为$O(n + m + nτ)$，空间复杂度为$O(nm)$，其中$n$是顶点数，$m$是边数，$τ$是生成树的数量。而新提出的算法将时间复杂度优化到$O(n + m + τ)$，空间复杂度优化到$O(n)$。

下面详细介绍新算法的核心思想和工作原理：
- 顶点突变与边扩展 ：设$u$是具有划分顺序$i$的顶点。当 generateSpanningTrees 尝试从其默认配置对$u$应用突变时，所有满足$δ(v, ds) > δ(u, ds)$的顶点$v$通过边扩展连接到它们各自具有最高划分顺序的面顶点。从顶点$x$到$y$（其中$δ(x, ds) < δ(y, ds)$）的边扩展的关键特性是，它不会排除$x$涉及划分顺序较低的顶点的任何突变。
- 算法等价性 ：算法 2 中对$u$应用突变或跳过所有突变，然后处理下一个顶点，这等价于在算法 1 中从$G_{im}^{i - 1}$的固定生成树生成$G_{im}^{i}$的所有可能生成树。因此，算法 2 在行为上与算法 1 等效，并且能正确地枚举$G_n$的所有生成树，且无重复。
- 复杂度分析 ：算法 2 仅维护$G_n$的单个生成树以及划分顶点和它们的面顶点集的两个序列。通过对算法 1 的分析可知，算法 2 的时间复杂度为$O(τ)$，空间复杂度为$O(n)$。结合生成