46、反馈运动规划：原理、方法与应用

反馈运动规划：原理、方法与应用

1. 引言

在运动规划领域，反馈运动规划是一个重要的研究方向，它能够根据系统当前状态实时调整运动策略，以更灵活、高效地应对复杂环境。本文将深入探讨反馈运动规划的相关概念、方法和应用，包括向量场、导航函数以及在细胞复合体上构建向量场等内容。

2. 向量场与流形上的速度场

2.1 流形上的切空间与向量场

在流形上，切空间的表示与 $\mathbb{R}^n$ 类似，这使得向量场的定义和表示能够自然地从 $\mathbb{R}^n$ 扩展到光滑流形。对于流形 $M$ 上的每一点 $p$，向量场会为其分配一个属于切空间 $T_p(M)$ 的向量。可以将其想象成一个针状图，只不过这个针状图分布在流形上，而非 $\mathbb{R}^n$ 中。

2.2 速度场的解释

向量场的速度场解释也能扩展到光滑流形。$\dot{x} = f(x)$ 定义了流形 $M$ 上的一组 $n$ 个微分方程，通常使用光滑结构的坐标邻域来表示。如果 $f$ 是光滑向量场，那么对于任意 $x_0 \in M$，都可以定义一个解轨迹 $\tau : [0, \infty) \to M$。对于分段光滑向量场，还可以定义 Filipov 意义下的解轨迹。

3. 连续空间的完整方法

3.1 反馈运动规划的定义

反馈运动规划的定义基于以下几个要素：
- 状态空间 $X$ ：是一个光滑流形，通常为 $C_{free}$（不包含障碍物区域）。
- 动作空间 $U(x)$ ：对于每个状态 $x \