44、运动规划与向量场：从离散到连续的探索

运动规划与向量场：从离散到连续的探索

在运动规划领域，我们面临着多种挑战和需求，从寻找最优路径到确保机器人安全避开障碍物，再到在连续状态空间中进行反馈运动规划。下面将详细介绍一些关键的算法和概念。

波前传播算法

波前传播算法是迪杰斯特拉算法的一种特殊版本，旨在优化到达目标所需的阶段数。其具体步骤如下：
1. 初始化 $W_0 = X_G$，$i = 0$。
2. 初始化 $W_{i+1} = \varnothing$。
3. 对于每个 $x \in W_i$，分配 $\varphi(x) = i$，并将 $x$ 的所有未探索邻居插入 $W_{i+1}$。
4. 如果 $W_{i+1} = \varnothing$，则终止；否则，令 $i := i + 1$ 并转到步骤 2。

该算法能够立即为从 $W_0$ 中的任何状态在一个阶段内可到达的每个状态分配最优的到目标代价为 1。这些代价必然是最优的，因为没有其他代价是最优的。接收代价为 1 的状态可以组织成波前 $W_1$。$W_1$ 的未探索邻居被分配代价为 2，这也必然是最优的。这个过程从 $i$ 到 $i + 1$ 归纳地重复，直到所有可达状态都被到达。最终，在 $O(n)$ 时间内计算出最优到目标代价，其中 $n$ 是可达网格状态的数量。对于任何未到达的状态，可以分配值 $\varphi(x) = \infty$。

最大间隙导航函数

在移动机器人领域，一个常见的问题是最优运动规划会使机器人过于接近障碍物。为了解决这个问题，可以使用最大间隙导航函数。假设存在一个单一的目标状态 $x_G \in X$，计算最大间隙导航函数的步骤如下：
1. 不使用