3、运动规划与拓扑复杂度相关研究

运动规划与拓扑复杂度相关研究

1. 运动规划中的变形与路径规划

在运动规划问题中，涉及到多种变形和路径规划的方法。
- 点的运动变形 ：存在一种点的运动方式，点先做圆周运动到达 $q(z_j)$，然后通过反向仿射投影回到 $z_j$。而点 $z_j(t)$ 运动方式类似，但在第二步会沿相反圆周方向运动以避免与 $z_i(t)$ 相遇。对于任意 $t \in I$，配置 $(z_1(t), \ldots, z_n(t), z’ 1, \ldots, z’_n, o_1, \ldots, o_m)$ 都位于配置空间 $C$ 中，从而实现了组件 $A {\sigma,\sigma’‘}$ 在 $C$ 中的变形，最终到达组件 $A_{\sigma’,\sigma’‘}$。
- 相邻符号交换情况 ：当相邻符号 $q(z_i)$ 和 $q(o_j)$ 在两个排序 $\sigma$ 和 $\sigma’$ 中交换时，假设 $q(o_j) < q(z_i)$（相反情况类似）。定义 $\eta = \eta(z_1, \ldots, z_n, z’ 1, \ldots, z’_n, o_1, \ldots, o_m) > 0$ 为最大实数，使得开区间 $(q(o_j), q(o_j) - \eta)$ 不包含投影点 $q(z {\ell})$、$q(z’ {\ell})$ 和 $q(o {\ell})$，且以 $o_j$ 为中心、半径为 $\eta$ 的开球内不包含满足 $q(o_k) = q(o_j)$ 的障碍物 $o_k$。点 $z_i$ 的变形如下：