35、组合运动规划中的复杂度分析与界限探讨

组合运动规划中的复杂度分析与界限探讨

1. 运动规划复杂度概述

运动规划问题的复杂度研究与特定算法的运行时间表征不同。算法的存在为问题的难度设定了上限，因为它证明了解决该问题所需的时间不会超过算法本身的运行时间。而下限同样重要，它能指示问题本身的难度。

例如，给定一个时间复杂度为 $O(n^2)$ 的算法来解决问题，我们会思考是否有更高效的算法，或者是否能找到一个在维度上呈多项式时间运行的通用运动算法。下限能为这类问题提供答案。通常，下限是通过构造问题定义允许但最初提出问题的人可能未考虑的复杂示例来确定的。在这一研究领域，进展体现在提高下限（若下限不紧），或者证明问题的更窄版本仍存在这类复杂示例，后者在运动规划中很常见。

2. 下限分析

2.1 计算理论基础

为理解运动规划问题的下限，需要具备基本的计算理论知识。问题被视为一组实例，每个实例被仔细编码为二进制字符串。算法在形式上被看作图灵机，它是一种可以在无限长磁带上读写位的有限状态机。虽然存在其他计算模型，如整数随机存取机（RAM）和实数 RAM，但后续将采用标准的图灵机模型。

算法通常输出二进制结果，即接受或拒绝最初写在磁带上并输入给算法的问题实例。在运动规划中，这意味着判断给定问题实例是否存在解路径。

2.2 语言与复杂度类

• 语言 ：语言是与问题相关的二进制字符串集合，代表问题的所有实例。若算法能在有限时间内正确接受属于该语言的所有字符串并拒绝其他字符串，则称该算法能判定该语言。关键问题是判定一种语言需要多少时间或空间，这里假设使用的是最优算法。
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