13、模型与运动规划：探索机器人自由空间复杂度

模型与运动规划：探索机器人自由空间复杂度

1. 引言

在机器人运动规划领域，具有 f 个自由度的机器人在包含 n 个不相交障碍物的场景中移动时，其自由空间的最大复杂度可达 Ω(nf)。这导致精确的运动规划算法在最坏情况下的运行时间至少与此复杂度同阶，这或许是大多数精确算法未被实际实现的原因之一。不过，Ba˜non 实现的 Schwartz 和 Sharir 用于二维工作空间中梯子运动的 O(n5) 算法是个例外，其实际表现远超最坏情况的理论分析。原因在于该算法的运行时间对自由空间的实际复杂度敏感，而实际复杂度远低于 Θ(nf) 的最坏情况界限。

基于这些观察，研究人员开始在特定（期望符合现实）的输入假设下研究几何问题，旨在更好地预测算法的实际性能。例如，van der Stappen 等人研究了有界可达机器人在由胖障碍物组成的环境中移动时的自由空间复杂度，发现最坏情况下的自由空间复杂度仅为 Θ(n)，这与 Ba˜non 的实验结果相符。后来，这些结果被扩展到低密度环境的更一般情况。

近期，de Berg 等人将文献中提出的各种现实输入模型（胖度、低密度、无杂乱和小简单覆盖复杂度）整合在一起，并证明这些模型形成了严格的层次结构：胖度意味着低密度，低密度意味着无杂乱，无杂乱意味着小简单覆盖复杂度，且模型之间不存在其他蕴含关系。由此引出一个自然的问题：当假设为更一般的场景（如无杂乱场景或具有小简单覆盖复杂度的场景）时，van der Stappen 等人的结果是否仍然有效？本文给出了否定答案，证明了有界可达机器人在无杂乱场景或具有小简单覆盖复杂度的场景中移动时，二维工作空间中自由空间的最大复杂度为 Θ(nf/2)，三维工作空间中为 Θ(n2f/3)，这些界限介于低密度场景的 Θ(n)