12、最大边着色问题的近似算法

最大边着色问题的近似算法

在图论中，最大边着色（MEC）问题是一个重要的研究课题。它在光学通信系统等领域有着广泛的应用，例如在消息传输调度中，目标是最小化所有颜色类（匹配）中最重边的权重之和。本文将介绍针对二分图和树的MEC问题的近似算法。

1. MEC问题概述

MEC问题是在给定一个图 $G = (V, E)$ 以及每条边 $e \in E$ 的正整数权重 $w(e)$ 的情况下，找到图 $G$ 的一个适当边着色 $M = {M_1, M_2, \ldots, M_k}$，使得颜色类中最重边的权重之和 $\sum_{i=1}^{k} \max_{e\in M_i}{w(e)}$ 最小。当边权重为单位权重时，MEC问题就简化为经典的边着色问题。

在光学通信系统中，消息通过底层交换网络建立的连接从发送者直接传输到接收者。系统中的任何节点在同一时间不能参与多个传输，而多对节点之间的消息传输可以同时进行。系统调度器会建立交换网络的连续配置，每个配置路由一组不冲突的消息。每个配置的传输时间等于所传输的最长消息的时间，目标是找到一个配置序列，使得所有消息都能传输且总传输时间最小，这与MEC问题直接对应。

2. 相关工作

经典的边着色问题对于一般图而言，除非 $P = NP$，否则无法在小于 $4/3$ 的因子内进行近似；而对于二分图，该问题是多项式可解的。MEC问题即使对于立方平面二分图，边权重 $w(e) \in {1, 2, 3}$，除非 $P = NP$，否则也无法在小于 $7/6$ 的因子内进行近似。不过，对于一些特殊情况，如边权重 $w(e) \in {1, 2}$ 的二分图、链、链星和有界度树，MEC问题是多项式可解的。