33、运动规划与计算代数几何全解析

运动规划与计算代数几何全解析

运动规划中的雷达图与关键变化

在运动规划里，雷达图发挥着重要作用。当在二维平面 (R^2) 中移动时，雷达图会出现关键变化。例如，若 (x) 增加到一定程度，机器人就无法到达 (v_1)，雷达图会产生关键变化。从图 6.23 所示位置向正 (y) 方向移动，剩余的黑色条带会逐渐缩小，当与 (e_3) 的距离超过机器人长度时，黑色条带最终消失，这也是一种关键变化。

雷达图可以通过指定循环顺序来表征：
[([f_1, f_2], [f_3, f_4], [f_5, f_6], \ldots, [f_{2k - 1}, f_{2k}])]
当存在 (k) 个方位区间，且配置位于自由空间 (C_{free}) 时，对于图 6.22b 中的雷达图，其表示为 ([e_3, v_1], [e_2, e_3])。每个 (f_i) 是一个特征，可能是边或顶点，部分 (f_i) 可能相同，如图 6.23b 的表示为 ([e_3, e_3])。这些区间按逆时针顺序围绕雷达图指定，由于顺序是循环的，所以指定哪个区间为第一个并不重要。存在两种退化情况：若对于所有 (\theta \in [0, 2\pi))，((x, y, \theta) \in C_{free})，则顺序写为 (())；若对于所有 (\theta \in [0, 2\pi))，((x, y, \theta) \in C_{obs})，则写为 (\varnothing)。

单元格中的关键变化与分解

现在来详细解释单元格分解。想象在 (R^2) 中沿着一条路径移动，并生成图 6.22b 中雷达图的动画版本。当循环顺序表示发生变化时，就会出现关键变化。这些变化包括： <