72、最优滤波技术解析

最优滤波技术解析

1. 成本函数与维纳解

在最优滤波的研究中，成本函数起着关键作用。成本函数可表示为：
[J(w) = r_d - 2w^T r_{d\varphi} + w^T R_{\varphi}w]
对 (J(w)) 关于 (w) 求导，可得：
[\frac{\partial J}{\partial w^T} = - 2r_{d\varphi} + 2R_{\varphi}w]
令导数为零，得到最优解需满足的方程：
[R_{\varphi}w_o = r_{d\varphi}]
此方程被称为正规方程或维纳 - 霍普夫方程，其解 (w_o) 即为维纳解。需要注意的是，维纳解和维纳滤波器并非同一概念。维纳滤波器是在无滤波器阶数限制的情况下，使均方误差（MSE）最小化的线性滤波器，而维纳解预先指定了滤波器阶数，并且不限于线性滤波器。

当自相关矩阵 (R_{\varphi}) 非奇异时（通常情况如此），维纳解为：
[w_o = R_{\varphi}^{-1} r_{d\varphi}]
给定 (w_o) 后，最优误差为：
[v_o = d - w_o^T \varphi]
不过，(v_o) 的期望值不一定为零，其表达式为：
[E{v_o} = E{d} - w_o^T E{\varphi}]
在实际应用中，通常希望 (E{v_o} = 0)，因为 (v_o) 一般应近似为零均值信号，如语音或噪声。

2. 正交性条件

维纳解的一个重要性质是最优误差 (v_o) 与回归因子 (\varphi) 正交，即：
[E{v_o\varph