22、运动规划中的度量、测度与采样理论

运动规划中的度量、测度与采样理论

一、运动规划中的度量空间

1.1 度量的组合与选择

在运动规划中，对于空间 $Z$ 可以有多种度量组合方式。例如：
$\rho_z(z, z’) = \left( c_1 \left{ \rho_x(x, x’) \right}^p + c_2 \left{ \rho_y(y, y’) \right}^p \right)^{1/p}$
这里 $p$ 为任意正整数，同时需要选择两个正常数 $c_1$ 和 $c_2$。要明白度量有很多种选择，可能并没有所谓“正确”的那一个。

1.2 常见的运动规划度量空间

• SO(2) 度量
  • 使用复数表示 ：若用单位复数表示 $SO(2)$，其构形空间是 $\mathbb{R}^2$ 的子集 ${(a, b) \in \mathbb{R}^2 | a^2 + b^2 = 1}$，可以应用 $\mathbb{R}^2$ 中的任意 $L_p$ 度量。使用欧几里得度量时，对于任意两点 $(a_1, b_1)$ 和 $(a_2, b_2)$，有：
    $\rho(a_1, b_1, a_2, b_2) = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$
  • 比较角度 ：上述度量计算的是两点间线段的长度，而不是沿圆的距离。可以通过直接比较角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 来得到另一种度量。由于沿圆从 $\theta_1$ 到 $\theta_2$