23、基于采样的运动规划：方法与策略解析

基于采样的运动规划：方法与策略解析

1. 密集序列与采样基础

在运动规划的采样方法中，生成密集序列是基础要求。若集合 U 在集合 V 中稠密，意味着将 U 的边界点加入 U 可得到 V。例如，开区间 (0, 1) 在闭区间 [0, 1] 中稠密，有理数集 Q 不仅可数，还在实数集 R 中稠密，因为对于任意实数，都存在收敛于它的分数序列，而这些分数序列是 Q 的子集。若一个序列的基础集合是稠密的，那么该序列就是稠密的。

1.1 随机序列可能是稠密的

当考虑区间 C = [0, 1] 时，随机选取点是获得密集序列的简单概念方法。假设 I 是 [0, 1] 中长度为 e 的子区间，独立随机选取 k 个样本，没有样本落入 I 的概率是 (1 - e)^k。当 k 趋于无穷大时，这个概率趋近于零，即 [0, 1] 中任何非零长度的子区间不包含样本的概率趋近于零。不过，独立随机选取的无限序列只是以概率 1 稠密，并非绝对保证。例如，在 [0, 1] 中随机选数，选到 π/4 的概率为零，但仍有可能。对于运动规划而言，若 k 不大，仅获得概率性保证可能会令人沮丧。

1.2 范德科普序列

1935 年，荷兰数学家范德科普提出了一个优美但未充分利用的序列。该序列基于简单思想，具有许多理想的应用特性，但仅定义在单位区间。为了将其特性扩展到更高维空间，推动了后续的质量度量和采样技术的发展。

以 C = [0, 1]/ ∼（其中 0 ∼ 1，可解释为 SO(2)）为例，若要在 C 中放置 16 个样本，理想选择是集合 S = {i/16 | 0 ≤ i < 16}，这些点以 1/16 的间隔均匀分布，C 中任意点到最近样本的距离不