48、连续空间的运动规划与反馈控制

连续空间的运动规划与反馈控制

在运动规划领域，对于给定的方程，其解的形式会因函数 $\varphi$ 定义域边界的条件不同而有所差异。例如，在某些简单的圆盘示例中，存在解析解。而复杂的导航函数通常是通过在自由配置空间 $C_{free}$ 的边界上对 $\varphi$ 施加约束来定义的。

边界条件与导航函数

• 狄利克雷边界条件 ：要求边界保持恒定值。利用这一条件，可以开发出一种谐波导航函数，它能在单连通状态空间中，将状态从任意位置引导至目标区域。
• 诺伊曼边界条件 ：当存在内部障碍物时，该条件迫使速度向量与障碍物边界相切。通过结合这两种边界条件求解方程，能够构建出一种谐波导航函数，它可以让物体沿着障碍物边界平行移动以避开障碍物，并最终到达目标。

然而，构建这样的导航函数存在一些问题。一方面，$C_{free}$ 的边界通常难以明确构建；另一方面，方程的数值解计算成本较高。可以使用高斯 - 赛德尔迭代法来求解，但这种方法与值迭代法相关，计算复杂度较高。

基于采样的连续空间方法

前面提到的一些方法虽然能为问题提供优雅的解决方案，但它们通常局限于低维问题或具有特殊结构的问题。因此，引入了基于采样的方法。

漏斗组合计算

Mason 引入了“漏斗”的概念，用于比喻无论初始位置如何，运动都会收敛到状态空间中同一小区域的情况。可以将导航函数想象成一个漏斗，它将状态引导至目标。例如，图 8.13d 所示的代价到目标函数就可以看作一个复杂的漏斗，它能将每一个“沙粒”（代表状态）沿着最优路