48、连续空间中的运动规划与反馈策略

连续空间中的运动规划与反馈策略

1. 运动规划方程与导航函数

运动规划方程存在多种可能的解，其解取决于函数 $\varphi$ 定义域边界的条件。在某些情况下，如基于圆盘的简单示例，存在解析解。而复杂的导航函数通常是通过在自由配置空间 $C_{free}$ 的边界对 $\varphi$ 施加约束来定义的。

• 边界条件类型
  • 狄利克雷边界条件 ：要求边界保持恒定值。利用此条件，可以开发出一种谐波导航函数，能将状态从单连通状态空间的任意位置引导至目标区域。
  • 诺伊曼边界条件 ：当存在内部障碍物时，该条件迫使速度向量与障碍物边界相切。通过结合这两种边界条件求解方程，可以构造出一个谐波导航函数，它能使物体平行于障碍物边界移动以避开障碍物，并最终到达目标。

然而，实际应用中存在一些问题。一方面，$C_{free}$ 的边界通常未被明确构建；另一方面，求解方程的数值解计算成本较高，例如可以使用高斯 - 赛德尔迭代法，但计算量较大。也有基于采样的方法来构建导航函数，后续还会使用值迭代法来生成近似的最优导航函数。

2. 基于采样的连续空间方法

之前的一些方法虽然能为问题提供优雅的解决方案，但通常局限于低维问题或具有特殊结构的问题，因此引入了基于采样的方法。

2.1 计算漏斗组合

Mason 引入了“漏斗”的概念，用于比喻无论初始位置如何，运动都会收敛到状态空间的同一小区域的情况。可以将导航