21、配置空间与采样式运动规划全解析

配置空间与采样式运动规划全解析

配置空间约束处理

在处理配置空间时，约束条件的设定至关重要。对于二维平面中每个点的(x)和(y)坐标，若所有关节均为旋转关节，可通过特定方式设定约束。当两个物体(A_j)和(A_k)需刚性连接时，除了固定一个点的两个坐标外，还需额外约束以防止相互旋转，可通过选取(A_j)上另一点并确保其一个坐标在(A_k)的体坐标系中处于正确位置来实现，但添加四个方程时会有一个冗余，因为(A_j)相对于(A_k)只有三个自由度（源于(SE(2))的维度）。

在三维空间(W = R^3)中，情况更为复杂。固定一个点会产生三个约束，此时(A_j)可相对于(A_k)在(SO(3))中进行任意旋转，这意味着它们通过球形关节连接。若为旋转关节连接，则需额外两个约束，可从第二个点的坐标中选取；若为刚性连接，则需第三个点的一个约束。不过，独立约束最多为六个，这是由(SE(3))的维度决定的。

为了便于处理，还需将三角函数转换为多项式。对于二维变换，可使用复数进行常见替换；在三维情况下，若采用(DH)参数化，(\cos\theta_i)、(\sin\theta_i)表达式可用一个复数参数化，(\cos\alpha_i)、(\sin\alpha_i)表达式可用另一个复数参数化；若直接使用(SO(3))的旋转矩阵进行参数化，则应使用四元数参数化。最终将约束列为(f = 0)形式的多项式方程。

能否根据独立约束的数量确定簇的维度呢？一般来说是不行的，从相关示例中的连杆链可以看出，不同的方程会产生不同维度的簇。不过，可以提供自由度数量的简单上界。假设生成树形式的连杆总自由度为(m)，每个独立约束最多消除一个自由度，若有(l)个独立约束，则该簇的维度最多为(m - l)