21、配置空间与采样式运动规划

配置空间与采样式运动规划

在运动规划领域，配置空间（Configuration Space，简称 C - space）和采样式运动规划是非常重要的概念。下面将详细介绍配置空间的约束处理、相关计算以及采样式运动规划的相关内容。

配置空间的约束处理

在处理配置空间时，常常需要考虑各种约束条件。例如，对于二维平面中的物体，如果要固定两个物体的相对位置，需要添加相应的约束方程。
- 二维情况 ：若两个物体的关节都是旋转关节，对于每个 x 和 y 坐标各需要一个约束。若要将两个物体 Aj 和 Ak 刚性连接，则需要额外添加一个约束来防止它们相互旋转。可以通过在 Aj 上选择另一个点，并确保其某个坐标在 Ak 的坐标系中处于正确位置来实现。不过，如果添加四个方程（每个点两个），其中一个会是冗余的，因为 Aj 相对于 Ak 只有三个自由度（这源于 SE(2) 的维度）。
- 三维情况 ：当空间为 W = R³ 时，固定一个点会产生三个约束。若只固定一个点，Aj 相对于 Ak 可以在 SO(3) 中进行任意旋转，这意味着它们通过球形关节连接。若通过旋转关节连接，则需要再添加两个约束，可以从第二个点的坐标中选取。若 Aj 和 Ak 刚性连接，则需要从第三个点添加一个约束。但总的来说，独立约束最多不超过六个，因为这是 SE(3) 的维度。

另外，在处理约束时，还需要将三角函数转换为多项式。对于二维变换，可以使用熟悉的复数替换。在三维情况下，若使用 DH 参数化，每个 cosθi、sinθi 表达式可以用一个复数参数化，每个 cosαi、sinαi 表达式可以用另一个复数参数化。若直接在参数化中使用 SO(