11、3 - 叶幂图修改问题的多项式核

3 - 叶幂图修改问题的多项式核

1 引言

在图论领域，3 - 叶幂图修改问题是一个重要的研究方向。本文围绕该问题展开，介绍了相关的图论概念、定理，并提出了一系列的预处理约简规则，以获得具有特定顶点数量的核。

2 基本概念与定理

2.1 图族与孪生顶点添加

一个图族 (F) 若满足对于任意 (G \in F)，添加其任意顶点的孪生顶点后得到的图仍属于 (F)，则称该图族在孪生顶点添加操作下是封闭的。

2.2 叶幂图

• 定义 ：设 (T) 是一棵无根树，其叶子节点与集合 (V) 中的元素一一对应。(T) 的 (k) - 叶幂图 (T^k=(V, E))，其中 (E = {(u, v) | u, v \in V) 且 (d_T(u, v) \leq k})，称 (T) 为 (T^k) 的 (k) - 叶根。
• 定理 ：
  • 一个图 (G) 是 3 - 叶幂图当且仅当其关键团图 (C(G)) 是森林。
  • 设 (G_1 = (V_1, E_1)) 和 (G_2 = (V_2, E_2)) 是两个连通的 3 - 叶幂图，(S_1 \subseteq V_1)，(S_2 \subseteq V_2)，则图 (H = (G_1, S_1) \otimes (G_2, S_2)) 是 3 - 叶幂图当且仅当满足以下两个条件之一：
    1. (S_1) 和 (S_2) 分别是 (G_1) 和 (G_2) 的团，且若 (S_1)（或 (S