11、基于格的密码学中离散高斯采样器综述

基于格的密码学中离散高斯采样器综述

1. 预备知识

• 符号表示
  • 用 $\mathbb{Z}$ 表示整数集，$\mathbb{Q}$ 表示有理数集，$\mathbb{R}$ 表示实数集。对于任意实函数 $f(\cdot)$，将其扩展到可数集 $A$ 上，定义为 $f(A)=\sum_{x\in A}f(x)$。
  • 用粗体小写字母（如 $\mathbf{x}$）表示 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，其中 $n$ 为未确定的正整数维度，且在全文中保持不变。格 $\Lambda$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的离散加法子群，本文仅关注满秩格，它由某个非奇异基 $B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 生成。
  • 使用标准的大 $O$ 符号对函数的增长进行分类，若对于某个固定常数 $c$，有 $f(n)=O(g(n)\cdot\log^c n)$，则称 $f(n)=\widetilde{O}(g(n))$。
• 离散高斯分布
  • 定义 ：对于任意中心 $c\in\mathbb{R}$ 和高斯参数 $s\in\mathbb{R}^+$，高斯函数 $\rho_{s,c}(x)=e^{-\pi(x - c)^2/s^2}$，有时也用参数 $\sigma = s/\sqrt{2\pi}$ 来表示。$\rho_{s,c}$ 的积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\rho_{s,c}(x)=s$，因此可以通过概率