10、图着色与3 - 叶幂图修改问题研究

图着色与3 - 叶幂图修改问题研究

1. 图着色相关研究

在图着色领域，我们探讨了一些重要的定理和相关证明。
- (2, F) - 子图着色
- 定理4证明 ：对于可嵌入在欧拉特征为 -γ ≤ 0 的曲面 S 上的图 G，通过添加边将其三角剖分得到图 H。设图 G 的顶点集 V(G) = V(H) = {v1, …, vn}，且 degH(v1) ≤ degH(v2) ≤ … ≤ degH(vn)。定义相关参数 h1 和 h2，设 d := deg(vn - h1)，证明根据 d 的大小分为两种情况：
- 情况 I：d ≤ (4/3)h2 + 9 ：图 G 在 {v1, …, vn} 上的诱导子图最大度至多为 d，根据定理 1，它有一个 (2, F) - 子图着色，使用至多 ⌈Cdm/(m - 1)⌉ 种颜色。给 G 剩余的顶点用 h1 种新颜色着色，可得 G 的 (2, F) - 子图着色，使用颜色数至多为 ⌈C((4/3)h2 + 9)m/(m - 1)⌉ + h1 ≤ C(8γ (m - 1) / (2m - 1) / c + 9) m/(m - 1) + cγm/(2m - 1) + 2。选择合适的常数 A、B 和 c，可知此值小于 Aγm/(2m - 1) + B，所以这种情况下 G 不是反例。
- 情况 II：d ≥ (4/3)h2 + (28/3) ：对每个顶点进行充电操作，定义 charge′(vi) = 6 - degH(vi)（1 ≤ i ≤ n - h1）和 charge′(vi) = -degH(vi)/4