50、小波滤波器设计与高阶设计优化方法

小波滤波器设计与高阶设计优化方法

1. 小波滤波器设计的基本理论

1.1 二通道滤波器组与小波设计概述

二通道滤波器组和二带小波的理论与设计已得到广泛研究。最简单的设计方法是对具有一定规则性约束（消失矩）的低通半带滤波器进行谱分解。在小波设计中，所有的自由度都分配给了规则性。

1.2 谱分解原理

为使二通道滤波器组实现完美重建（即 $\hat{x}[n] = x[n - D]$，其中 $D$ 为一定的时间延迟），四个滤波器需满足以下两个条件：
- 混叠消除 ：$F_0(z)H_0(-z) + F_1(z)H_1(-z) = 0$
- 失真消除 ：$F_0(z)H_0(z) + F_1(z)H_1(z) = 2z^{-D}$

通过交替符号构造 $F_0(z) = H_1(-z)$，$F_1(z) = -H_0(-z)$，可将失真消除条件简化为 $F_0(z)H_0(z) - F_0(-z)H_0(-z) = 2z^{-D}$。若定义乘积滤波器 $P_0(z) = F_0(z)H_0(z)$，则其需满足 $P_0(z) - P_0(-z) = 2z^{-D}$，这就是信号处理界熟知的半带条件。

1.3 二通道完美重建滤波器组设计步骤

设计具有四个 FIR 滤波器的二通道完美重建滤波器组，可遵循以下标准步骤：
1. 设计低通半带滤波器 $P_0(z)$。
2. 将 $P_0(z)$ 分解为 $H_0(z)$ 和 $F_0(z)$。
3. 利用混叠消除条件（$F_0(z)