50、小波滤波器设计与高阶优化方法

小波滤波器设计与高阶优化方法

1. 小波滤波器设计的基本原理

1.1 离散小波变换与两通道滤波器组

离散小波变换可看作是对低通输出进行特殊两通道滤波器组迭代的过程。两通道滤波器组和两带小波的理论与设计已被广泛研究。最简单的设计方法是对具有一定正则性约束（消失矩）的低通半带滤波器进行谱分解。与本章提到的其他变换不同，小波设计的所有自由度都分配给了正则性。

1.2 谱分解条件

为使图8.18中的两通道滤波器组实现完美重构（即(\hat{x}[n] = x[n - D])，其中(D)为特定时间延迟），涉及的四个滤波器需满足以下两个条件：
- 混叠消除 ：(F_0(z)H_0(-z) + F_1(z)H_1(-z) = 0)
- 失真消除 ：(F_0(z)H_0(z) + F_1(z)H_1(z) = 2z^{-D})

通过交替符号构造(F_0(z) = H_1(-z))，(F_1(z) = -H_0(-z))，可优雅地消除混叠并将设计参数减少一半。此时，失真消除条件简化为(F_0(z)H_0(z) - F_0(-z)H_0(-z) = 2z^{-D})。

若定义乘积滤波器(P_0(z) = F_0(z)H_0(z))，则它需满足半带条件(P_0(z) - P_0(-z) = 2z^{-D})。因此，设计具有四个FIR滤波器的两通道完美重构滤波器组可遵循以下标准步骤：
1. 设计低通半带滤波器(P_0(z))。
2. 将(P_0(z))分解为(H_0(z))和(F_0(z))。
3. 利用混叠消除