4、薛定谔算子在度量图上的顶点条件

薛定谔算子在度量图上的顶点条件

在研究薛定谔算子在度量图上的性质时，顶点条件起着至关重要的作用。它不仅影响着图的拓扑结构，还与算子的自伴性密切相关。本文将深入探讨顶点条件的相关内容，包括其作用、不同类型的顶点条件以及星图的顶点条件等。

顶点条件的初步讨论

在度量图上的微分算子需要引入特殊的条件，这些条件用于连接函数在顶点处的极限值及其法向导数。顶点条件具有双重作用：
- 连接不同的边 ：使得图的各个部分能够相互关联。
- 使微分算子自伴（对称） ：这对于保证算子的良好性质至关重要。

希尔伯特空间 (L^2(\Gamma)) 和形式微分表达式并不能反映不同边之间的连接方式，而顶点条件决定了图的连通性，因此需要更多的关注。

假设给定一个度量图，为了研究所有合适的顶点条件，我们需要的条件数量与端点数量（即所有顶点度数之和）相同。为了正确反映图的连通性，这些条件应仅连接与每个顶点相关的极限值。因此，每个顶点可以独立考虑，我们可以将边界形式写为：
[
\langle L_{q,a}^{\max} u, v\rangle - \langle u, L_{q,a}^{\max} v\rangle = \sum_{m = 1}^{M} \left(\sum_{x_j \in V^m} \left{\partial u(x_j) \cdot v(x_j) - u(x_j) \cdot \partial v(x_j)\right}\right)
]

对于每个价为 (d^m) 的顶点，我们需要写出 (d^m) 个线性独立的条件，使得相应的