2、度量图上微分算子的定义

度量图上微分算子的定义

1. 度量图上的薛定谔算子概述

在研究度量图上的算子时，主要关注的是磁薛定谔算子。每个这样的算子由以下三个部分组成：
1. 度量图
2. 作用在边上的微分算子
3. 特定的顶点条件

这三个部分并非完全独立，下面将详细描述每个部分。研究主要集中在自伴算子上，但这些方法也可用于某些非自伴问题。

2. 度量图

2.1 离散数学中对图的定义

在离散数学里，图通常被定义为顶点集和边集的有序对，重点在于顶点集。这反映出人们更关注顶点间的跳跃过程，而几乎忽略了边上的动态。但对于微分算子而言，边起着关键作用，因此有必要改变图的标准定义方式，从边开始构建整个结构。

离散数学中，图 (G) 由顶点集 (V) 和边集 (E) 组成。每条边连接两个顶点，可看作 (V\times V) 中的元素，所以 (E) 是 (V\times V) 的子集。

2.2 度量图的定义

为了得到度量图，将每条边看作实线上具有一定长度的区间，只关注区间的长度。下面给出由有限条边构成的图的严格定义：
考虑 (N) 个紧凑或半无限区间 (E_n)，每个区间属于实数线 (\mathbb{R}) 的一个独立副本：
[
E_n =
\begin{cases}
[x_{2n - 1}, x_{2n}], & n = 1, 2, \cdots, N_c \
[x_{2n - 1}, \infty), & n = N_c + 1, \cdots, N_c + N_i = N
\end{case