3、度量图上的薛定谔算子与量子图谱分析

度量图上的薛定谔算子与量子图谱分析

1. 标准顶点条件

在度量图上定义微分算子时，顶点条件起着关键作用，它们能使微分算子自伴，且反映不同边之间的连接方式。标准顶点条件是一种常用的顶点条件，其定义如下：
- 连续性条件 ：对于顶点 (V^m) 中的任意 (x_i, x_j)，有 (u(x_i) = u(x_j))。
- 基尔霍夫条件 ：(\sum_{x_j \in V^m} \partial u(x_j) = 0)。

对于每个顶点 (V^m)，这两个条件给出 (d^m) 个独立条件，其中 (d^m) 是顶点 (V^m) 的价。这两个条件合在一起有时被称为基尔霍夫、诺伊曼、自然或自由条件，但我们更倾向于将基尔霍夫仅用于导数的平衡条件。

对于度为 1 的顶点，标准顶点条件简化为诺伊曼条件：(\partial u(x_j) = 0)，其中 (x_j \in V^m) 且 (d^m = 1)。这解释了为什么标准顶点条件常被称为诺伊曼条件。

在两个区间连接的情况下，标准顶点条件意味着函数及其扩展导数在该顶点连续，此时顶点可以移除，两个区间可以用一个长度等于原两个区间长度之和的区间代替，这也是标准条件有时被称为自由条件的原因。

1.1 标准顶点条件总结

顶点类型	标准顶点条件
一般顶点 (V^m)	(\begin{cases}x_i