43、图的顶点操作与特征值分析

图的顶点操作与特征值分析

1. 标准条件下的顶点胶合与切割

1.1 特征值估计与环树构造

已知存在图能同时实现特征值的上下界估计，若要同时实现这两个估计，需要高度退化的特征值。环树（looptree），即一些一度顶点上附有环的树图，通过仔细调整狄利克雷（Dirichlet）和诺伊曼（Neumann）悬挂边以及环的长度，可创建具有退化特征值的图，满足 $\lambda_{j_{min}} = \lambda_{j_{min}+1} = \cdots = \lambda_{j_{max}}$，其中：
$\lambda_{j_{max}} = \frac{\pi^2}{L^2}(j_{min} - \frac{|N|}{2} - \frac{\beta_1}{2})$
$\lambda_{j_{min}} = \frac{\pi^2}{L^2}(j_{max} - 2 + |D| + \frac{|N|}{2} + \frac{3}{2}\beta_1)$

一个简单的环树示例见图 13.2（此处未展示图）。问题 56 要求确定图 13.2 中边和环的长度，以使特征值估计（13.8）达到精确。

1.2 顶点胶合与切割定理

• 定理 13.4 ：设 $\Gamma$ 是一个度量图，$\Gamma’$ 是由 $\Gamma$ 将其两个顶点（如 $V^1$ 和 $V^2$）连接成一个顶点得到的另一个度量图。则标准拉普拉斯算子的特征值满足不等式：$\lambda_n(\Gamma) \leq \lambda_n(\Gamma’)$（13.9）。问题 57 要求使用一般 $n$ 的极