13、量子图上算子的基态正性与谱估计

量子图上算子的基态正性与谱估计

1. 基态正性

1.1 矩阵性质与顶点条件

目标是证明矩阵 (A^m) 非对角元素非正。考虑 (\vec{u}^m) 仅有两个非零坐标的情况，通过计算二次型并代入相关公式可得：
[
\begin{align }
<|\vec{u}^m|, A^m|\vec{u}^m|> &= |\alpha|^2(A^m) {11} + |\alpha| |\beta|((A^m) {21} + (A^m) {12}) + |\beta|^2(A^m) {22}\
&\leq |\alpha|^2(A^m) {11} + \alpha \overline{\beta}(A^m) {21} + \overline{\alpha}\beta(A^m) {12} + |\beta|^2(A^m) {22} = <\vec{u}^m, A^m\vec{u}^m>
\end{align }
]
这意味着 (|a| |b|\text{Re} (A^m) {12} \leq \text{Re}(\overline{a}b(A^m) {12})) 对任意复数 (\alpha) 和 (\beta) 成立，当且仅当 ((A^m)_{12}) 是非正实数。

二次型的定义域要求在每个顶点 (V^m) 处，边界值向量属于由 (n^m \leq d^m) 个具有不相交支撑集和非负坐标的向量所张成的子空间，即 (\vec{u}(V^m) \in L{\