11、量子图的基本谱性质与狄利克雷算子

量子图的基本谱性质与狄利克雷算子

1. 自伴算子与谱性质研究

在研究量子图的谱性质时，自伴算子起着关键作用。对于算子 (L_S^q(\Gamma))，通过一系列推导可以证明它是自伴算子。

1.1 自伴性证明

设向量 (\vec{t} \in \mathbb{C}^{dm}) 任意，有 (\vec{u}(V^1) = [(S^1)^ + I]\vec{t})，(\partial\vec{u}(V^1) = -i[(S^1)^ - I]\vec{t})。经过一系列运算可得：
[
0 = \langle -i[(S^1)^ - I]\vec{t}, \vec{v}(V^1) \rangle_{\mathbb{C}^{d^1}} - \langle [(S^1)^ + I]\vec{t}, \partial\vec{v}(V^1) \rangle_{\mathbb{C}^{d^1}} = \langle \vec{t}, i[S^1 - I]\vec{v}(V^1) - [S^1 + I]\partial\vec{v}(V^1) \rangle_{\mathbb{C}^{d^1}}
]
由于 (\vec{t}) 的任意性，可知 (v) 满足顶点条件 (4.8)。对图 (\Gamma) 中的任意顶点都适用该分析，从而得出 (Dom ((L_S^q(\Gamma))^ ) = Dom (L_S^q(\Gamma)))。
通过分部积分可得 (\langle L_S^q(\Gamma)u, v \rangle_{L^2(\Gamma)} = \langle u, \tau_qv \rang