61、边界控制：BC 方法解决薛定谔算子逆问题

边界控制：BC 方法解决薛定谔算子逆问题

1. 逆问题初览

在处理薛定谔算子在度量图上的逆问题时，我们的目标是恢复以下三元组的所有成员：
- 度量图 $\Gamma$；
- 势函数 $q$；
- 顶点条件。

由于磁势可以被消除并转化为不同的顶点条件，因此我们不讨论磁势的重建。我们将考虑依赖于图中循环磁通量的谱数据，利用磁通量为 0 和 $\pi$ 时的谱数据，这对应于在 $\Gamma$ 上具有零磁势的标准薛定谔算子，并且可能在每个循环上引入额外的符号条件。

一般来说，单个谱不足以解决逆问题。例如，区间上的势函数需要由对应于端点不同边界条件的两个谱来确定。对于度量图，我们可以通过修改不同顶点的顶点条件来扩展谱数据集合，但我们不采用这种方法，因为了解所有顶点会使度量图的重建变得简单，并且对于大型图来说问题会过度确定。

我们的谱数据集将包含与相对较小的顶点集（称为接触集）相关的 M 函数。接触集 $\partial\Gamma$ 是顶点集的非空子集，包含所有一度顶点。为了保证逆问题的唯一可解性，接触顶点应根据图 $\Gamma$ 的拓扑结构在图内良好分布。

2. 边界控制方法的应用

边界控制方法（BC 方法）由 Belishev 提出，它将控制理论的思想引入逆问题领域。在一维情况下，BC 方法与利用 M 函数渐近性解决逆问题密切相关。BC 方法使用边界观测来解决逆问题，拉普拉斯变换将 BC 方法中出现的响应算子与图的 M 函数联系起来。

对于薛定谔算子 $L_q = -\frac{d^2}{dx^2} + q$ 在 $[0, \infty)$ 上，我们关联波方程：