37、图算子的谱估计与谱间隙研究

图算子的谱估计与谱间隙研究

1. 一般顶点条件下的谱估计

1.1 问题提出与算子定义

在研究图上的谱估计时，当仅关注较大的 $n$ 值时，对于常数 $C(\Gamma, q)$ 有明确公式（11.47）。对于问题 47，在（11.32）中，当 $n$ 足够大时，常数 $C$ 可取为（11.47）的形式；若 $q \in L^{\infty}(\Gamma)$，$C$ 也可等于 $|q|_{L^{\infty}(\Gamma)}$。我们需要探讨哪个表达式能提供更好的值及原因。

假设给定一个有限紧致度量图 $\Gamma$、一个实的 $L^1$ 势 $q \in L^1(\Gamma)$ 以及酉不可约顶点矩阵 $S^m$，$m = 1, 2, \cdots, M$。根据定义 4.1 可定义相应的自伴薛定谔算子 $L_q^S(\Gamma)$。我们要证明的谱估计与（11.32）很相似，不同之处在于常数 $C$ 显然不仅依赖于图 $\Gamma$ 和势 $q$，还依赖于顶点条件。

1.2 关键要素分析

为证明定理 11.8，有几个关键要素：
1. 对扰动项的显式上下界估计（11.48）和（11.33）。
2. 用 $|u|_{L^{\infty}(\Gamma)}^2$ 对扰动项的上界估计（11.36）。
3. 允许将和拆分为两项的不等式（11.42）。
4. 能通过 $W_2^1$ 范数估计函数的 $L^{\infty}$ 范数的索伯列夫型不等式（11.12）。
5. 拉普拉斯特征函数的估计（11.37）。

1.3 公式修正

在估计中使用二次型，