66、树的逆问题：顶点条件的重建

树的逆问题：顶点条件的重建

在处理树结构的逆问题时，我们会遇到多个关键的子问题，其中之一便是重建顶点条件。下面将详细探讨相关的理论和方法。

1. 响应算子与修剪树的关系

首先，存在一些关于响应算子的重要等式：
[
\begin{cases}
R^{\ell_i + \ell_j + \epsilon}(V^i, V^j)(t + \ell_i + \ell_j) = \hat{R}^{2\ell + \epsilon}(\hat{V} i, \hat{V}_j)(t + 2\ell), & 0 \leq t < \epsilon \
R^{\ell_i + \ell_j + \epsilon}(V^i, V^j)(t) = 0, & 0 \leq t < \ell_i + \ell_j \
\hat{R}^{2\ell + \epsilon}(\hat{V}_i, \hat{V}_j)(t) = 0, & 0 \leq t < 2\ell
\end{cases}
]
这里有一个重要的引理：对于度量树 (T) 中的任意束以及任意满足 (0 < \epsilon < \min{\ell, \ell_N}) 的 (\epsilon)，响应算子 (R^{2(\max {k = 1, \cdots, N - 1} \ell_k) + \epsilon}) 与该束相关的块能确定修剪树对应的响应算子 (\hat{R}^{2\ell + \epsilon}) 的相应块。

2. 等边束顶点条件的恢复

假设在度量树 (T) 中选择了一个束，该束为等边束，即所有悬边长度均为 (\ell)，且束上的势恒为零。已知与该束相关的响应算子的 ((N - 1) \times (N - 1)) 块在 (T = 2\ell + \epsilon)（(\epsilon > 0)）时的情况。当 (\epsilon) 足够小时，该响应算子块由在根顶点 (V^0) 处连接的星图 (E_1, \cdots, E_{N - 1}, E_N) 上的波动方程的解确定，且树的其余部分在 (t < 2\ell + \epsilon) 时对所选块无影响。

由于我们假设悬边上的势为零（因为悬边上的势可从响应算子确定并清除），但对于边 (E_N) 上的势，我们尚不清楚如何确定和清除。因此，为确定响应算子的主 ((N - 1) \times (N - 1)) 块，需考虑 (E_N) 上势可能非零的情况。

在 (t = \ell) 时，边界控制产生的第一批波到达根顶点 (V^0) 并进入 (E_N)。至少在 (\ell \leq t \leq \ell + \epsilon) 时，(E_N) 的（标量）响应与具有从 (E_N) 继承的势的一维薛定谔算子在半轴上的响应相同。存在一个可微核 (r_N(t))，使得：
[
\frac{\partial}{\partial x} u_N(x_{2N - 1}, t) = -\frac{\partial}{\partial t} u_N(0, t) + \int_{\ell}^{t} r_N(t - s) u_N(0, s) ds
]
其中 (u_N(x, t)) 是 (E_N) 上的解，且边 (E_N) 从顶点 (V^0) 开始参数化为 ([0, \ell_N])。

接下来，分步骤确定束上的解：
- 步骤 0 ：由于单位传播速度，在区域 (x < \ell - t)（(0 < t < \ell)）内，解恒为零，(E_N) 上的解在 (t \leq \ell) 时也恒为零。
- 步骤 1 ：对于 (t \leq \ell)，束上的解由单个行波给出，满足 (\vec{u}^ (x, t) = \vec{f}^ (t + x - \ell))，其中 (\vec{f}^ ) 是边界控制函数。该公式在三角形区域 (t - \ell < x < \ell)（(\ell < t < 2\ell)）内同样成立，因为从 (V^0) 反射的波来不及进入该区域。
- 步骤 2 ：考虑梯形区域 (\max{\ell, t - \ell - \epsilon} < x < \min{t - \ell, 3\ell - t})，束上的解包含由控制函数产生的行波和从根顶点反射的波，即 (\vec{u}^ (x, t) = \vec{f}^ (t + x - \ell) + \vec{a}^ (t - x))。为确定 (\vec{a}^ )，将相关公式代入顶点条件，得到一个积分方程：
[
\begin{cases}
P^{-1}(\vec{f}(t - \ell) + \vec{a}(t)) = 0 \
(I - P^{-1})(\vec{f}’(t - \ell) - \vec{a}’(t) + \int_{\ell}^{t} r_N’(t - s) u_N(0, s) ds \vec{e}_N) = A(I - P^{-1})(\vec{f}(t - \ell) + \vec{a}(t))
\end{cases}
]
其中 (\vec{f}(t) = \begin{pmatrix} \vec{f}^ (t) \ 0 \end{pmatrix})，(\vec{a}(t) = \begin{pmatrix} \vec{a}^ (t) \ u_N(0, t) \end{pmatrix})。经过一系列推导，得到积分方程：
[
\vec{a}(t) = (I - 2P^{-1})\vec{f}(t - \ell) - 2A \int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)}(I - P^{-1}) \vec{f}(\tau - \ell) d\tau + \int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)} \left(\int_{\ell}^{\tau} r_N’(\tau - s) u_N(0, s) ds\right) (I - P^{-1}) \vec{e}_N d\tau
]
这是一个第二类 Volterra 方程，可通过迭代求解，得到解公式：
[
\vec{a}(t) = S_v(\infty) \vec{f}^ (t - \ell) - 2A \int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)}(I - P^{-1}) \vec{f}^ (\tau - \ell) d\tau + \int_{\ell}^{t} H(t, \tau) \vec{f}^ (\tau - \ell) d\tau
]
其中 (H) 是连续矩阵核，在 (\tau \leq t) 区域内恒为零。则束上控制问题的解可写为：
[
P u(x, t) = \vec{f}^ (t + x - \ell) + P S_v(\infty) \vec{f}^ (t - x - \ell) - 2P A \int_{0}^{t - x - \ell} e^{-A(t - \tau - \ell)}(I - P^{-1}) \vec{f}^ (\tau) d\tau + P \int_{0}^{t - x - \ell} H(t, \tau + \ell) \vec{f}^ (\tau) d\tau
]
- 步骤 3 ：对于三角形区域 (3\ell - t < x < \ell)（(2\ell < t < \ell + x + \epsilon)），束上的解包含三个波：原始波、从根顶点反射的波和从束边界反射的第二个反射波。该区域的解为：
[
\begin{align }
P u(x, t) =& \vec{f}^ (t + x - \ell) + P S_v(\infty) \vec{f}^ (t - x - \ell) - 2P A \int_{0}^{t - x - \ell} e^{-A(t - x - \tau - \ell)}(I - P^{-1}) \vec{f}^ (\tau) d\tau \
&+ P \int_{0}^{t - x - \ell} H(t - x, \tau + \ell) \vec{f}^ (\tau) d\tau - P S_v(\infty) \vec{f}^ (t + x - 3\ell) \
&+ 2P A \int_{0}^{t + x - 3\ell} e^{-A(t + x - \tau - 3\ell)}(I - P^{-1}) \vec{f}^ (\tau) d\tau - P \int_{0}^{t + x - 3\ell} H(t + x - 2\ell, \tau + \ell) \vec{f}^ (\tau) d\tau
\end{align }
]
束相关的响应算子块为：
[
\begin{align }
P (R^T \vec{f}^ )(t) =& -\frac{\partial}{\partial x} P \vec{u}(x, t)|_{x = \ell} \
=& -\frac{d}{dt} \vec{f}^ (t) + 2P S_v(\infty) \frac{d}{dt} \vec{f}^ (t - 2\ell) - 4P A (I - P^{-1}) \vec{f}^ (t - 2\ell) \
&+ 4P A^2 \int_{0}^{t - 2\ell} e^{-A(t - \tau - 2\ell)}(I - P^{-1}) \vec{f}^ (\tau) d\tau - 2P A \int_{0}^{t - 2\ell} H(t - \ell, \tau + \ell) \vec{f}^ (\tau) d\tau \
\end{align*}
]
其中 (T < 2\ell + 2\epsilon)。

2. 关键矩阵的确定

有如下重要引理：度量树 (T) 中等边束相关的响应算子块 (PR^T P)（时间参数 (T) 略大于束中悬边长度的两倍）能唯一确定与根顶点条件相关的矩阵 (PS_v(\infty)P) 和 (PAP)。证明通过识别响应算子公式中的 (\delta) 和 (\delta’) 奇点来确定这些矩阵。

3. 酉参数的恢复

考虑具有相同主 ((N - 1) \times (N - 1)) 块 (PS_v(\infty)P) 的 (N \times N) 不可约厄米酉矩阵 (S_v(\infty)) 集合。该矩阵族可用一个实相位参数描述，即 (S_v^{\theta}(\infty) = R_{\theta} S_v^0(\infty) R_{-\theta})，其中 (\theta \in [0, \pi))，(S_v^0(\infty)) 是该族中的一个特定成员，(R_{\theta} = \text{diag}{1, 1, \cdots, 1, e^{i\theta}})。

证明过程中，由于 (S_v(\infty)) 是厄米矩阵，从其主 ((N - 1) \times (N - 1)) 块重建时，酉矩阵的一般重建所需的两个任意相位参数减少为一个。通过单位矩阵的归一化和正交条件，可计算出矩阵的最后一行和最后一列元素，进而得到上述矩阵族的描述。

4. 顶点条件矩阵的唯一确定

设 (S) 是确定度量树中束根顶点条件的酉 (N \times N) 矩阵，(N_{-1}) 是其对应特征值 (-1) 的特征子空间，(A) 是顶点条件的厄米参数化中出现的相应矩阵。已知子空间 (N_{-1}) 和 ((N - 1) \times (N - 1)) 矩阵 (P(I - P^{-1})A(I - P^{-1})P) 能确定唯一的匹配条件，即唯一的矩阵 (S)。

证明时，将 ((N - 1) \times (N - 1)) 厄米矩阵扩展为 (N \times N) 厄米矩阵 (\hat{A} = A \oplus O_{N_{-1}})，利用其核包含 (N_{-1}) 以及 (S_v(\infty)) 的不可约性，计算出 (\hat{A}) 的最后一列和最后一行元素，从而确定矩阵 (S)。

总结

通过上述一系列的推导和证明，我们建立了从响应算子块确定顶点条件相关矩阵，进而恢复酉参数和唯一确定顶点条件矩阵的方法。这些理论和方法为解决树结构的逆问题提供了重要的工具和思路。

以下是确定束上解的步骤流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[步骤0:确定解为零的区域];
    B --> C[步骤1:确定单个行波解];
    C --> D[步骤2:确定包含反射波的解];
    D --> E[步骤3:确定包含三个波的解];
    E --> F[结束];

步骤总结表格如下：
|步骤|区域|解的形式|
|----|----|----|
|步骤0|(x < \ell - t)（(0 < t < \ell)），(t \leq \ell) 时 (E_N) 上|解恒为零|
|步骤1|(t \leq \ell)，(t - \ell < x < \ell)（(\ell < t < 2\ell)）|(\vec{u}^ (x, t) = \vec{f}^ (t + x - \ell))|
|步骤2|(\max{\ell, t - \ell - \epsilon} < x < \min{t - \ell, 3\ell - t})|(\vec{u}^ (x, t) = \vec{f}^ (t + x - \ell) + \vec{a}^ (t - x))，通过积分方程求解 (\vec{a}^ )|
|步骤3|(3\ell - t < x < \ell)（(2\ell < t < \ell + x + \epsilon)）|包含三个波的复杂解形式|

树的逆问题：顶点条件的重建（续）

5. 关键矩阵与顶点条件的关联分析

在前文我们已经确定了与根顶点条件相关的矩阵 (PS_v(\infty)P) 和 (PAP)，以及酉参数和顶点条件矩阵 (S) 的恢复方法。接下来，我们进一步分析这些关键矩阵与顶点条件之间的深层次关联。

矩阵 (PS_v(\infty)P) 和 (PAP) 反映了顶点处的散射特性和相互作用关系。其中，(PS_v(\infty)P) 体现了在无穷远处的散射情况，它与束上的波传播和反射密切相关。而 (PAP) 则在顶点条件的厄米参数化中起到关键作用，它影响着波在顶点处的匹配条件。

酉矩阵 (S) 作为确定顶点条件的核心矩阵，它的性质决定了波在顶点处的传播规则。当我们已知 (PS_v(\infty)P) 和 (PAP) 时，通过一系列的推导和计算，能够逐步还原出 (S) 的具体形式，从而明确顶点条件。

这种关联关系可以用以下的逻辑流程来表示：
1. 从响应算子块 (PR^T P) 中识别 (\delta) 和 (\delta’) 奇点，确定 (PS_v(\infty)P) 和 (PAP)。
2. 利用 (PS_v(\infty)P) 的主 ((N - 1) \times (N - 1)) 块，结合厄米性质和归一化、正交条件，确定酉参数。
3. 已知子空间 (N_{-1}) 和矩阵 (P(I - P^{-1})A(I - P^{-1})P)，通过扩展矩阵和核的性质，确定唯一的矩阵 (S)。

6. 实际应用中的考虑因素

在实际应用中，我们需要考虑一些因素来确保上述理论和方法的有效性。

首先，对于束的等边性假设，在实际情况中可能并不完全满足。当悬边长度存在一定差异时，我们需要对模型进行适当的修正。可以考虑引入长度的微小扰动项，将其纳入到波动方程的求解中，以更准确地描述波的传播。

其次，势的假设也需要谨慎处理。虽然我们假设悬边上的势恒为零，但在实际场景中，势可能会受到各种因素的影响而发生变化。对于边 (E_N) 上的势，由于其难以确定和清除，我们可以采用一些近似方法，例如将其视为一个缓慢变化的函数，或者通过实验数据进行拟合。

另外，在实际测量中，响应算子的获取可能存在一定的误差。这些误差会对后续的矩阵确定和顶点条件恢复产生影响。为了减小误差的影响，我们可以采用多次测量取平均的方法，或者结合其他的测量手段进行验证和校正。

7. 与其他相关理论的联系

树的逆问题中的顶点条件重建与其他相关理论有着密切的联系。

与波动方程理论的联系：整个过程基于波动方程在星图上的求解，波动方程的解决定了响应算子的形式，进而影响到顶点条件的确定。例如，在确定束上解的不同步骤中，我们都是根据波动方程的传播特性来分析波的行为。

与量子力学中的散射理论的联系：顶点条件的重建类似于量子力学中粒子在势场中的散射问题。矩阵 (S) 类似于散射矩阵，它描述了波在顶点处的散射情况。通过确定 (S)，我们可以了解波的反射和透射特性。

与图论的联系：树作为一种特殊的图结构，图论中的一些概念和方法可以为我们的研究提供帮助。例如，束的概念可以看作是图中的一个子结构，我们可以利用图论的算法来分析束的性质和相互关系。

8. 未来研究方向

基于目前的研究，有几个未来的研究方向值得探索。

进一步拓展模型：可以考虑将模型扩展到更复杂的树结构，例如非等边束、带有分支的树等。研究在这些更复杂结构下的顶点条件重建方法。

多物理场耦合问题：在实际应用中，可能会存在多种物理场的耦合，例如电磁场与弹性波的耦合。研究在多物理场耦合情况下的树逆问题，将顶点条件重建理论推广到更广泛的领域。

实验验证与应用：通过实际的实验来验证理论的有效性，并将其应用到具体的工程问题中，例如无损检测、声学成像等。

以下是实际应用中考虑因素的列表：
- 束的等边性假设的修正
- 势的处理方法
- 测量误差的减小措施

与其他相关理论联系的表格如下：
|相关理论|联系描述|
|----|----|
|波动方程理论|基于波动方程求解确定响应算子和顶点条件|
|量子力学散射理论|顶点条件重建类似于粒子散射问题，矩阵 (S) 类似散射矩阵|
|图论|利用图论概念和算法分析树结构和束的性质|

未来研究方向的流程图如下：

graph TD;
    A[当前研究] --> B[拓展模型到复杂树结构];
    A --> C[研究多物理场耦合问题];
    A --> D[进行实验验证与应用];

总结

本文深入探讨了树的逆问题中顶点条件的重建方法。从响应算子的分析出发，逐步确定了关键矩阵、酉参数和顶点条件矩阵。同时，分析了关键矩阵与顶点条件的关联，考虑了实际应用中的因素，探讨了与其他相关理论的联系，并提出了未来的研究方向。这些研究成果为解决树结构的逆问题提供了全面的理论支持和实践指导，有助于推动相关领域的发展。