9、顶点条件相关知识解析

顶点条件相关知识解析

1. 顶点条件基础

顶点条件与 (3.21) 等价的充要条件是 (S = S^t)，即 (S) 是一个复对称矩阵（但不一定是厄米矩阵）。所有导致与能量无关的顶点散射矩阵的 “实” 顶点条件都可以用实对称矩阵来描述，这在物理应用中非常重要，因为物理相关模型通常由具有实元素的矩阵描述。要求相应的哈密顿量具有时间反演不变性会直接导致尺度不变的顶点散射矩阵。

1.1 不可区分边的顶点条件

研究与不可区分边对应的顶点条件，即边的任意排列下不变的顶点条件。对应的矩阵 (S) 满足方程 (SP_{\sigma} = P_{\sigma}S)，其中 (P_{\sigma}) 是对应于排列 (\sigma) 的任意置换矩阵。满足该方程的矩阵 (S) 形式为：
[
S =
\begin{pmatrix}
R & T & T & \cdots \
T & R & T & \cdots \
T & T & R & \cdots \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}
]
其中 (R) 和 (T) 是任意复数。为使 (S) 是酉矩阵且不可约，需满足：
[
\begin{cases}
|R|^2 + (d - 1)|T|^2 = 1 \
RT + T\overline{R} + (d - 2)|T|^2 = 0 \
T \neq 0
\end{cases}
]