19、双直觉逻辑特性与BHK式解释解读

双直觉逻辑特性与BHK式解释解读

双直觉逻辑的特征

在直觉逻辑中，双重否定消除（∼∼A ⊭A）、排中律（⊭A ∨∼A）以及一条德摩根定律（∼(A ∧B) ⊭(∼A ∨∼B)）均不成立。而在双直觉逻辑中（将⊸ 替换为 ∼），这些推理都是有效的。不过，双重否定引入（A ⊭⊸⊸A）和另一条德摩根定律（⊸A∧⊸B ⊭⊸(A ∨B)）在双直觉逻辑中不成立。直觉逻辑的特征性失效在双直觉逻辑中似乎有对应的对偶失效情况。

对于排中律，我们猜测其对偶无效式可能是 ⊸(A∧⊸A) 的无效性，但实际上它在双直觉逻辑中是有效的。而爆炸原理（(A∧⊸A) ⊨B）在双直觉逻辑中不是有效的推理，这表明双直觉逻辑是一种次协调逻辑。

直觉逻辑和双直觉逻辑的有效推理集合存在对偶性：单前提推理在一个逻辑中有效，当且仅当通过交换（a）前提和结论，以及（b）合取和析取得到的推理在另一个逻辑中有效。具体对比如下：
| 直觉逻辑（IL） | 双直觉逻辑（DIL） |
| ---- | ---- |
| ¬¬A ⊭ A（n） | A ⊭ ¬¬A（Y） |
| B ⊭ A ∨¬ A（n） | A ∧¬ A ⊭ B（Y） |
| ¬(A ∧B) ⊭ ¬A ∨¬ B（n） | ¬A ∧¬ B ⊭ ¬(A ∨B)（Y） |

次协调性

Dummett 在相关论述中未提及双直觉逻辑的次协调性，这是一个有趣的疏忽。现代观点认为爆炸原理的有效性意味着假定了语义上的不矛盾律。Dummett 认为 ¬(A ∧¬A) 的有效性或无效性是语义不矛盾律的形式对应，但在双直觉逻辑中，爆炸原理的失效让我们重新审视不矛盾律。

不矛盾律包含两个方面