5、直觉主义逻辑：理论与语义解读

直觉主义逻辑：理论与语义解读

1. 直觉主义逻辑的起源与构造性数学

直觉主义逻辑的发展与对经典逻辑的反思密切相关。由于对形式逻辑的轻视，布劳威尔未系统修订经典逻辑。后来，他的老师G. 曼努里发起了将布劳威尔思想公理化的项目，并承诺给予完成者奖励，最终他的学生A. 海廷发明了直觉主义逻辑并获得了该奖励。

1.1 构造性数学示例

为了理解经典数学和直觉主义数学的差异，我们来看一个例子。假设我们要判断方程 (x^y = z) 是否存在 (x) 和 (y) 均为无理数，而 (z) 为有理数的解。考虑数 (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})，若它是有理数，问题得肯定答案；若不是，令 (x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}})，(y = \sqrt{2})，则 (z = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2)，无论 (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}) 是否为有理数，都能肯定回答该问题。

经典数学家认可这个证明，但直觉主义者并不满意。他们认为必须明确 (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}) 是否为有理数，因为他们希望看到一个满足要求的具体数字 (z)。一般来说，直觉主义者在无法辨别哪个析取项可证明时，不会接受析取式。直觉主义理论需满足的一个普遍特征是：只有当析取项之一是定理时，析取式才是定理，这一性质被称为析取性质或素性。

1.2 直觉主义逻辑的公理化

基于素性和排中律失效等约束，海廷通过从经典逻辑的公理化中剔除他认为可疑的公理，给出了直觉主义逻辑的公理化。令人惊讶