13、任意冗余机器人高秩奇异性识别算法

任意冗余机器人高秩奇异性识别算法

1. 引言

机器人处于奇异配置时，其雅可比矩阵的行线性相关，这意味着机器人的末端执行器无法在一个或多个工作空间方向上移动，这些方向被称为奇异方向。在现有文献中，针对非冗余机器人寻找奇异配置的方法，大多是基于确定使机器人雅可比矩阵 $J$ 奇异的条件，即其行列式为零（$|J| = 0$）。这些方法后来被推广到冗余机器人，常见的方法有求解使所有子雅可比矩阵奇异的条件，以及使用基于互易性的技术。但这些技术难以扩展到高度冗余的机器人。

本文设计了一种算法，能够识别任意运动学结构的机器人的所有奇异性，无论其冗余程度如何。该算法基于计算机器人雅可比矩阵任意奇异值 $\sigma_i$ 的梯度，通过合适的梯度下降技术，将机器人驱动到 $\sigma_i = 0$ 的配置，此时雅可比矩阵奇异，与 $\sigma_i = 0$ 相关的奇异向量 $u_i$ 代表了失去运动的方向，即奇异方向。此外，还提出了一种识别高秩奇异性自然奇异方向的方法。

2. 奇异性分析

2.1 预备知识

一般来说，在 $m$ 维工作空间中运行的 $n$ 自由度任意机器人的正向运动学可以写成：
$\dot{x} = J \dot{\theta}$ （1）
其中，$\dot{x}$ 是一个 $m×1$ 向量，表示末端执行器的速度；$J$ 是 $m×n$ 的机器人雅可比矩阵；$\dot{\theta}$ 是一个 $n×1$ 向量，表示关节角速度。对于冗余机器人，$n > m$，$n - m$ 为冗余度。冗余机器人的雅可比矩阵不是方阵，因此不可逆，但可以使用以下公式找到逆运动学解：
$\dot{\theta} = J