22、机器人奇异性与灵活性分析

机器人奇异性与灵活性分析

1. 灵活性椭球基础

当机器人关节速度均匀且处于 n 维单位球内（$|\dot{q}|^2 = 1$）时，代表末端执行器速度的六维数组呈椭球形状。在椭球的纵轴方向，映射具有最大幅值；在横轴方向，映射具有最小幅值，同时保持单位体积。这种椭球灵活性不仅决定了映射输入输出数组最大和最小尺寸之间的关系，还明确了末端执行器速度达到最大或最小值的方向。

2. 从奇异性到各向同性

• 奇异性分析
  • 对于串联机器人，灵活性椭球描绘了机器人雅可比矩阵的关键特征。与仅在完全驱动机器人中为方阵的雅可比矩阵不同，不同类型机器人（包括欠驱动、完全驱动和冗余驱动）的灵活性矩阵 $J J^T$ 始终是方阵。
  • 灵活性矩阵的行列式 $\det(J(q)J^T(q)) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$（对于平面机器人，$n = 3$；对于三维空间运动的机器人，$n = 6$）。当行列式为 0 时，机器人处于奇异构型，此时至少有一个特征值为 0，灵活性椭球会沿着对应零特征值的特征向量拉伸成圆柱体。例如，当机器人末端执行器到达工作空间边界且无法沿垂直方向移动时，就会出现这种情况。
• 各向同性分析
  • 当灵活性矩阵的所有特征值都等于 1 时，行列式为 1，灵活性椭球变为各方向尺寸均为单位 1 的 n 维球体，这种构型称为各向同性构型。在各向同性状态下，给所有关节变量施加相等速度会使末端执行器任务空间变量产生对称速度，