狄利克雷卷积

最新推荐文章于 2023-07-20 11:11:38 发布
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#算法 #数学 #狄利克雷卷积

这篇博客介绍了狄利克雷函数的定义及其三个关键性质，包括交换律、结合律和积性函数的性质。文章特别强调了狄利克雷函数在数论中的应用，尤其是当它应用于积性函数时，如何保持积性。此外，还探讨了常见的积性函数形式，为深入理解数论概念提供了基础。

【算法简介】

定义狄利克雷函数为(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})(f∗g)(n)=d∣n∑​f(d)g(dn​)

性质：
1.狄利克雷函数满足交换律，结合律
2.ϵ\epsilonϵ为单位元，任何函数卷一下ϵ\epsilonϵ仍为本身ϵ(1)=1,ϵ(else)=0\epsilon(1)=1,\epsilon(else)=0ϵ(1)=1,ϵ(else)=0
3.积性函数f,和积性函数g的狄利克雷函数也是积性函数

有以下常见形式
在这里插入图片描述

【数学】狄利克雷卷积
mango09の世界
12-30 1416
一、前置知识 1. 艾佛森括号 $$ [P] \begin{cases} 1 & \text{if}\ P\ \text{is true} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 其中 PPP 是一个可真可假的命题。 2. 积性函数 因为狄利克雷卷积很多时候用来卷积性函数，所以要明白积性函数的定义。 积性函数：∀n,m,n⊥m\forall n,m,n\perp m∀n,m,n⊥m， 若 f(n)f(m)=f(nm)f(n)f(m)=f(nm)f(n)f(
Codeforces gym102471C 狄利克雷卷积性质 + 狄利克雷卷积计算
weixin_43485513的博客
12-05 384
       首先给出结论：（下述结论成立基于对 modmodmod 取模情况下）。        当 f(1)=1f(1)=1f(1)=1，fmod+1=ϵ(f(1))∗ff^{mod + 1} = \epsilon(f(1))*ffmod+1=ϵ(f(1))∗f，fmod=ϵ(f(1))f^{mod}=\epsilon(f(1))fmod=ϵ(f(1))。 &nbs
进阶数论第二弹：狄利克雷卷积和莫比乌斯反演
artalter的博客
04-02 576
狄利克雷卷积和莫比乌斯反演
狄利克雷卷积的性质及证明
qq_56071472的博客
07-20 765
关于狄利克雷卷积的一些性质以及相应的证明。如有疏漏不周，请在评论区指出。谢谢。
HDU-5628-Clarke-and-math-狄利克雷卷积
无限大な梦のあとの 何もない世の中じゃ
02-20 2074
分析：这个题目要学会数论上面的一个知识点：狄利克雷卷积。主要要知道: (f∗g)=∑d|nf(d)g()nd(f*g)=\sum_{d|n}f(d)g(){n\over{d}} f∗(g∗h)=(f∗g)∗hf*(g*h)=(f*g)*h f∗(g+h)=f∗g+f∗hf*(g+h)=f*g+f*h f∗g=g∗ff*g=g*f 这道题就变成了这个f∗1kf*1^{k}时候用一次快速幂，可以nlo
HDU5528 迪利克雷卷积
Gipsy
12-13 435
被卡常了wuwuwu，这道题最后也没过，本机测试随机满数据不到2s，20000个1e9 4s 这种做法比较奇葩，我估计没人会这么做 这道题的本质是 左边那个希腊符号是欧拉函数，右边的是因子之和，都是积性函数，数论卷积后还是积性函数 所以n因式分解，化成答案变成几个积性函数的积 总复杂度  啊，计蒜客上A了 详细的写下这道题的题解：容易的看出，答案是：             等...
数论 狄利克雷卷积（狄利克雷乘积）
Authur_gyc
10-05 2013
现在我们有两个数论函数f(n)、g(n)f(n)、g(n)f(n)、g(n)，它们的狄利克雷卷积（乘积）也是一个数论函数。 记他们的狄利克雷卷积为h(n)h(n)h(n) 则有： 简记为h(n)=f(n)∗g(n)h(n)=f(n)*g(n)h(n)=f(n)∗g(n) 性质 1.满足结合律。 2.满足交换律。 参考来源 博客 https://blog.youkuaiyun.com/liyizhixl/ar...
杜教筛（下）：狄利克雷卷积
QAQ
09-12 1450
定义： 定义f,gf,gf,g两个函数的狄利克雷卷积运算(*)为：(f∗g)(n)=∑d|nf(d)∗g(nd)(f∗g)(n)=∑d|nf(d)∗g(nd)(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d}) 性质： 狄利克雷卷积满足： 交换律：f∗g=g∗ff∗g=g∗ff*g=g*f 结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f∗g)∗h=f∗(g∗h)...
【学习小记】狄利克雷卷积+杜教筛
Never give in.
07-13 3744
Preface 这东西分明就是玄学暴力 用来求简单的数论函数的前缀和，像φ,μφ,\mu这类的东西 当然，约数和，约数个数之类的也是可以的 Text 数论函数是指定义域是整数，陪域是复数的函数 Dirichlet 卷积 定义两个数论函数f,gf,g 它们的狄利克雷卷积表示f∗gf*g，设卷起来得到的新函数是hh h(i)=∑d|if(i)g(id)h(i)=\sum\li
莫比乌斯反演证明
ocgcn2010的专栏
04-20 1172
首先定义几个概念： 1，卷积： 设是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算定义为 可以证明，卷积运算满足： 1）交换律： 由定义显然。 2）结合律： 考察两边作用在上，左边是 右边是 故两边相等。 3）存在单位元使得 我们需要 故不难猜到应该定义为 事实上，直接验证可得 以上说明数论函数在卷积意义下构成一
狄利克雷卷积总结
Harris-H的博客
07-07 777
狄利克雷卷积总结 积性函数 常见的积性函数：φ,μ,σ,d\large \varphi,\mu,\sigma,dφ,μ,σ,d 常见的完全积性函数：ϵ,I,id\large \epsilon,I,idϵ,I,id 函数名 数学表达式 欧拉函数 φ(n)\varphi(n)φ(n) 莫比乌斯函数 μ(n)\mu(n)μ(n) 元函数 ϵ(n)=[n=1]\epsilon(n)=[n=1]ϵ(n)=[n=1] 恒等函数 I(n)=1I(n)=1I(n)=1 约数个数函数 d(n)
狄利克雷卷积与积性函数
萍水相逢，尽是他乡之客
08-05 942
μ∗1=e μ * 1 = e φ∗1=id⇒φ=μ∗id φ * 1 = id \Rightarrow φ = μ * id d=1∗1⇒1=μ∗d d = 1* 1 \Rightarrow 1 = μ * d 其中: ∑d|nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n} μ(d) = {[n==1]} ∑d|nφ(d)=n\sum_{d|n} φ(d) = {n}
狄利克雷卷积+莫比乌斯反演+杜教筛
Wtothey_的博客
08-16 416
狄利克雷卷积 狄利克雷卷积与数论函数构成群，四个性质： 封闭性 结合律 逆元 幺元 特殊卷积 ，互为逆元 莫比乌斯反演 欧拉函数+莫比乌斯函数点这里 约数反演 定义： 反演： 证明：（狄利克雷卷积） ...
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