照相机模型

1、针孔照相机模型
三维点$X$投影为图像点$x$（齐次坐标表示），
$\lambda x = PX$
$-x=f\dfrac{X}{Z}$
这里，3×4的矩阵$P$为照相机矩阵（或投影矩阵）。这里的标量$\lambda$是三维点的逆深度，如果我们打算在齐次坐标中将最后一个数值归一化为1，那么就会使用到它。

2、照相机矩阵
$P=K[R | t]$
$R$是描述照相机方向的旋转矩阵，$t$是描述照相机中心位置的三维平移向量，内标定矩阵$K$描述照相机的投影性质。
通常情况下可以写成

$$K=\left[ \begin{matrix} \alpha f & s & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$$
图像平面和照相机中心间的距离为焦距$f$，当像素数组在传感器上偏斜的时候，需要用到倾斜参数$s$。在大多数情况下，$s$可以设置成0。
$f_x=\alpha f_y$，

$$K=\left[ \begin{matrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$$
纵横比例参数$\alpha$是在像素元素非正方形的情况下使用的。通常设置$\alpha =1$，这样
$$K=\left[ \begin{matrix} f & 0 & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$$
光心的坐标$c=[c_x,c_y]$，是光线坐标轴和图像平面的交点，通常在图像的中心

2、照相机矩阵的分解
$P=K[R | t]$
矩阵分块操作称为因子分解，这里我们使用RQ因子分解。
我们需要限制旋转矩阵R为正定的（否则，旋转坐标轴即可）

3、计算照相机中心
给定照相机投影矩阵P，我们可以计算出空间上照相机的所在位置。照相机的中心C，是一个三维点，满足约束PC=0。
$K[R|t]C=KRC+Kt=0$
$C=-R^Tt$
照相机的中心和内标定矩阵K无关

4、标定照相机是指计算出该照相机的内参数
焦距
$f_x=\dfrac{dx}{dX}dZ，f_y=\dfrac{dy}{dY}dZ$

5、以平面和标记物进行姿态估计
我们可以从平面间估计单应性矩阵。如果图像中包含平面状的标记物体，并且已经对照相机进行了标定，那么我们可以计算出照相机的姿态（旋转和平移）。
因为场景坐标的尺度是任意的，我们使用下面的矩阵来创建第一个照相机
$P_1=K\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right]$
结合$P_1$和$H$构建第二幅图像的照相机矩阵
$P_2=HP_1$