7、时变非线性方程求解：ZD 模型与 GD 模型对比分析

时变非线性方程求解：ZD 模型与 GD 模型对比分析

1. 引言

在科学和工程领域，求解形如 $f(x) = 0$ 的非线性方程是一个常见问题。以往许多数值算法和神经网络动态方法被提出用于解决这类问题，但大多数方案主要针对系数不随时间变化的常量问题。

现在我们将拓展一种神经动态设计方法，即归零动态（ZD）设计方法，用于求解时变非线性方程 $f(x(t),t) = 0$。同时，为了进行对比，也会研究传统的梯度动态（GD）模型。此外，还会探讨不同类型的激活函数对模型性能的影响。

2. 问题描述与解决方案模型

2.1 问题描述

我们的目标是实时找到 $x(t) \in R$，使得时变非线性方程 $f(x(t),t) = 0$ 成立。假设在任意时刻 $t \in [0, +\infty)$ 都存在理论时变解 $x^*(t)$。

2.2 ZD 模型

• 步骤一：构建误差函数
  根据 Zhang 等人的神经动态设计方法，首先构建不定误差函数 $e(t) = f(x(t),t)$。
• 步骤二：选择时间导数
  为了使误差函数 $e(t)$ 渐近且最好以指数方式收敛到零，选择并强制 $e(t)$ 的时间导数满足：
  $\frac{de(t)}{dt} = -\gamma\varphi(e(t))$，等价于 $\frac{df}{dt} = -\gamma\varphi(f(x(t),t))$
  其中，$\gamma$ 是设计参数，$\varphi(\cdot)$ 是激活函数。