11、时变满秩矩阵Moore - Penrose逆的ZD模型研究

时变满秩矩阵Moore - Penrose逆的ZD模型研究

1. 引言

Moore - Penrose逆（伪逆）在众多科学与工程领域中是一个基础问题，像海洋数据同化、运动控制、声场控制和容错控制等。以往针对矩阵Moore - Penrose逆的计算有很多算法，如牛顿迭代、连续矩阵平方算法、Greville递归法和奇异值分解等，但这些方法大多针对常量矩阵。而实时的时变矩阵Moore - Penrose逆问题普遍存在，例如求解冗余机械臂的逆运动学问题就需要实时的时变Moore - Penrose逆解。本文主要对时变满秩矩阵Moore - Penrose逆的零动态（ZD）模型进行推广、研究和分析。

2. 预备知识

• 广义逆与Moore - Penrose逆的定义 ：对于矩阵$A \in R^{m×n}$，若$X$满足一个或多个Penrose方程：$AXA = A$，$XAX = X$，$(AX)^T = AX$，$(XA)^T = XA$，则$X$称为$A$的广义逆。若$X$满足全部四个方程，则$X$称为$A$的Moore - Penrose逆，记为$A^+$。Moore - Penrose逆是唯一的，且在所有广义逆中具有最小的Frobenius范数。

• 满秩矩阵的Moore - Penrose逆公式 ：若矩阵$A$满秩，即$rank(A) = min{m,n}$，则$A^+$的计算公式如下：

  • 当$m < n$时，$A^+ = A^T(A A^T)^{-1}$；
  • 当$m = n$时，$A^+