5、时变四次方根求解：ZD与GD模型对比分析

时变四次方根求解：ZD与GD模型对比分析

1. 引言

在科学和工程领域，求解形如 $x^4 - a = 0$（$a$ 为正标量）的四次方根问题是一个重要的非线性方程特例。例如，在图像处理中，某些操作需要找到图像的四次方根。许多流行的计算方案与基于梯度的方法相关，或理论上是为解决系数 $a$ 不随时间变化的常数问题而设计的。然而，当考虑时变情况，即 $x^4(t) - a(t) = 0$（$a(t)$ 为随时间变化的正标量）时，梯度动力学（GD）可能由于产生较大的滞后误差而不够高效。

与基于梯度的神经动力学方法不同，一种特殊的零ing动力学（ZD）被提出用于解决时变和/或常数问题。ZD模型利用四次方根非线性方程时变系数的时间导数信息，能够无误差地获得精确解，而GD模型在不考虑该信息时会产生较大滞后误差。

下面是相关方法的流程图：

graph LR
    A[问题提出：时变四次方根求解] --> B[ZD模型]
    A --> C[GD模型]
    B --> B1[CTZD模型]
    B --> B2[DTZD模型]
    B2 --> B21[DTZDK模型（已知\(\dot{a}(t)\)）]
    B2 --> B22[DTZDU模型（未知\(\dot{a}(t)\)）]

2. 问题表述与ZD模型

2.1 问题表述

考虑如下四次方根的数学问题：
$x^4(t) - a(t) = 0$，$t \in [0, +\infty)$
其中，$a(