6、时变五次方根求解的零动态模型研究

时变五次方根求解的零动态模型研究

1. 引言

时变五次方根求解问题，即求解形如 $x^5(t) - a(t) = 0$ 的方程，在计算数学和物理学等领域是一个基础且重要的问题。以往大部分方法主要针对常数五次方根求解，对于时变五次方根求解可能不够有效、精确和高效。为了解决这一问题，基于零动态（ZD）设计方法，一系列 ZD 模型被提出、开发和研究，用于实时在线求解时变五次方根。

2. 时变情况下的 ZD 模型

2.1 CTZD 模型

考虑时变五次方根问题 $x^5(t) - a(t) = 0$，其中 $a(t)$ 是平滑的时变标量，其时间导数 $\dot{a}(t)$ 理论上存在且在实际中假设已知或至少可测量。我们的目标是实时找到 $x(t)$，使方程在任意时刻 $t \in [0, +\infty)$ 都成立。
- 步骤一：定义误差函数
按照 Zhang 等人的神经动态设计方法，定义不定误差函数 $e(t) = x^5(t) - a(t) \in R$。
- 步骤二：选择误差函数的时间导数
选择 $\dot{e}(t)$ 使其满足 ZD 设计公式 $\frac{de(t)}{dt} = -\gamma\varphi(e(t))$，其中设计参数 $\gamma > 0$，$\varphi(\cdot)$ 是单调递增的奇函数。这里使用线性激活函数和幂 - S 型激活函数。
- 步骤三：推导 CTZD 模型
对 ZD 设计公式进行展开，得到 $5x^4(t)\dot{x}(t) -