28、代数曲线中的除子、配对与曲线同构

代数曲线中的除子、配对与曲线同构

在代数曲线的研究中，除子和配对是非常重要的概念，它们在椭圆曲线等领域有着广泛的应用。下面我们将深入探讨这些概念以及它们之间的关系。

1. 泰特 - 利希滕鲍姆配对

在特定的计算中，当 (i = 1) 为奇数时，通过计算 (5P = P + 4P) 来得到泰特 - 利希滕鲍姆配对。具体计算如下：
(v_5 = v_1 · v_4 · (x - 3)| {DQ} = 1 · 2 · (2/3) \equiv 5) ((\text{mod } 11))。
因此，点 (P) 与自身的泰特 - 利希滕鲍姆配对为：
(\langle P, P\rangle_5 = v_5 = 5) ((\text{mod } (\mathbb{F} {11}^{\times})^5))，
而修改后的泰特 - 利希滕鲍姆配对为：
(\tau_5(P, P) = \langle P, P\rangle_5^{(11 - 1)/5} \equiv 3) ((\text{mod } 11))。
需要注意的是，与韦伊配对不同，点与自身的泰特 - 利希滕鲍姆配对可能是非平凡的。

2. 亏格为 1 的曲线与椭圆曲线

设 (C) 是定义在域 (K) 上的非奇异代数曲线。曲线 (C) 可以表示为多项式在 (\mathbb{P}^2_K) 中的根，或者是 (\mathbb{P}^3_K) 中曲面的交。我们可以像定义椭圆曲线的除子那样，定义曲线 (C) 上的除子和函数的除子。

设 (D_1 = \sum a_i[P_i])，(D_2 = \sum b_i[P_i]) 是