8、椭圆曲线的扭点与有限域上的椭圆曲线

椭圆曲线的扭点与有限域上的椭圆曲线

1. 扭点情况分析

当 (p|n) 时，我们首先确定椭圆曲线 (E) 上的 (p) - 幂扭。根据相关命题，乘以 (p) 的乘法不是可分的，乘以 (p) 的核 (E[p]) 的阶严格小于该自同态的次数 (p^2)。由于 (E[p]) 中每个元素的阶为 1 或 (p)，所以 (E[p]) 的阶是 (p) 的幂，只能是 1 或 (p)。
- 若 (E[p]) 是平凡的，那么对于所有 (k)，(E[p^k]) 必定是平凡的。
- 若 (E[p]) 的阶为 (p)，可以证明对于所有 (k)，(E[p^k] \simeq \mathbb{Z}_{p^k})。

将 (n = p^r n’)（其中 (r \geq 0) 且 (p \nmid n’)），则 (E[n] \simeq E[n’] \oplus E[p^r])。因为 (p \nmid n’)，所以 (E[n’] \simeq \mathbb{Z} {n’} \oplus \mathbb{Z} {n’})，而 (E[p^r] \simeq 0) 或 (\mathbb{Z} {p^r})。最终可得 (E[n] \simeq \mathbb{Z} {n’} \oplus \mathbb{Z} {n’}) 或 (\mathbb{Z} {n} \oplus \mathbb{Z}_{n’})。

2. 韦伊配对

韦伊配对是研究椭圆曲线 (n) - 扭的重要工具，在多个方面有应用，如证明哈塞定理、解决离散对数问题以及用于密码学等。

设 (E) 是域 (K) 上的椭圆曲线，(n) 是不被