6、椭圆曲线中的奇异曲线与模运算研究

椭圆曲线中的奇异曲线与模运算研究

1. 奇异曲线的引入与基本性质

在椭圆曲线的研究中，我们通常假设方程 (y^{2}=x^{3}+Ax + B) 中的三次多项式 (x^{3}+Ax + B) 有不同的根。然而，当出现重根时，情况变得十分有趣。此时，椭圆曲线的加法运算会转变为域 (K) 中元素的加法，或者 (K^{\times}) 中元素的乘法，甚至是 (K) 的二次扩张中的元素乘法。这意味着，针对椭圆曲线群 (E(K)) 设计的算法，例如用于解决离散对数问题的算法，可能也适用于这些更为常见的情况。

奇异曲线在将定义在整数上的椭圆曲线对各种素数取模时自然出现。下面我们分别讨论三次多项式有三重根和二重根的情况。

1.1 三次多项式有三重根的情况

当 (x^{3}+Ax + B) 在 (x = 0) 处有三重根时，曲线方程为 (y^{2}=x^{3})。点 ((0,0)) 是该曲线上唯一的奇异点，因为过该点的任何直线与曲线最多只有一个其他交点。如果将 ((0,0)) 包含在群中会产生问题，所以我们将其排除。剩余的点记为 (E_{ns}(K))，它们构成一个群，群运算规则与三次多项式有不同根时的定义方式相同。需要验证的是，两个点的和不能是 ((0,0))，由于过 ((0,0)) 的直线与曲线最多只有一个其他交点，所以过两个非奇异点的直线不会经过 ((0,0))。

有如下定理：
设 (E) 为曲线 (y^{2}=x^{3})，(E_{ns}(K)) 是该曲线上坐标在 (K) 中的非奇异点，包括点 (\infty=(0:1:0))。定义映射 (E_{ns}(K)\to K)，((x,y)\to\frac{x}{y})，(\infty\to