10、有限域、椭圆曲线与密码学应用解析

有限域、椭圆曲线与密码学应用解析

1. 有限域基础

有限域在数学和密码学中扮演着重要角色。整数对素数 ( p ) 的运算包括求和、求差和求积，扩展欧几里得算法可用于计算元素的乘法逆元。

设 ( F ) 为有限域，对于 ( F ) 中的任意元素 ( x ) 和整数 ( n )，( n \cdot x ) 表示 ( n ) 个 ( x ) 的和。使得 ( n \cdot 1 = 0 ) 的最小正整数 ( n ) 称为该域的特征 ( p )。这允许通过为 ( k ) 选择一个整数代表，来定义 ( GF(p) ) 中的元素 ( k ) 与 ( F ) 中的元素 ( x ) 的乘法，从而使 ( F ) 成为 ( GF(p) ) - 向量空间，且 ( F ) 中元素的数量为 ( p^n )（( n ) 为整数）。

在特征为 ( p ) 的域中，有等式 ( (x + y)^p = x^p + y^p ) 成立，这可由二项式定理推导得出，因为 ( (x + y)^p ) 展开式中除首项和末项外，每个二项式系数都是 ( p ) 的倍数。费马小定理指出，若 ( p ) 是素数且 ( x ) 在域 ( GF(p) ) 中，则 ( x^p = x )。更一般地，( GF(p^n) ) 中的每个元素都满足多项式方程 ( x^{p^n} - x = 0 )。

有限域的任何有限扩展都是单扩展且可分的。根据韦德伯恩小定理，任何有限除环都是交换的，因此是有限域。这意味着所有阶为 ( q ) 的域都是同构的。若域 ( F ) 有一个阶为 ( q = p^k ) 的子域，则其元素是 ( X^q - X ) 的 ( q ) 个根，且 ( F ) 不能包含另一个阶为 ( q ) 的子域。