椭圆曲线与数论问题解析

1、证明：若(x)，(y)是满足(y^{2}=x^{3}-25x)的有理数，且(x)是有理数的平方，则这并不意味着(x + 5)和(x - 5)是平方数。（提示：令(x = 25/4)）

当 $ x = \frac{25}{4} $ 时，$ x $ 是有理数 $ \frac{5}{2} $ 的平方。此时
$$
x - 5 = \frac{25}{4} - 5 = \frac{25 - 20}{4} = \frac{5}{4}, \quad
x + 5 = \frac{25}{4} + 5 = \frac{25 + 20}{4} = \frac{45}{4}.
$$

假设 $ \frac{5}{4} $ 是有理数 $ \frac{p}{q} $（其中 $ p, q $ 互质）的平方，即
$$
\frac{5}{4} = \left( \frac{p}{q} \right)^2,
$$
则
$$
5q^2 = 4p^2.
$$
由此可知 $ 5 \mid p^2 $，进而 $ 5 \mid p $。设 $ p = 5k $，代入得
$$
5q^2 = 4 \times 25k^2 \Rightarrow q^2 = 20k^2.
$$
于是 $ 5 \mid q^2 $，进而 $ 5 \mid q $，这与 $ p, q $ 互质矛盾。因此，$ \frac{5}{4} $ 不是有理数的平方。

同理可证 $ \frac{45}{4} $ 也不是有理数的平方。

所以，若 $ (x, y) $ 满足 $ y^2 = x^3 - 25x $ 且 $ x $ 是有理数的平方， 不能推出 $ x + 5 $ 和 $ x - 5 $ 都是有理数的平方。

2、将(x = -4 + t)，(y = 6 + mt)代入(y^2 = x^3 - 25x)，会得到一个关于(t)的三次方程，证明(t = 0)是该方程的一个根。

若要得到具体的三次方程，可将 $ x =