【湖南集训 4.14】C

题目描述

给出一棵$n$个点，边权为$1$的树，节点皆为黑色或白色，随机起点，每一次你会从$n$个点中随机一个点$x$，从当前点走过去，并且将$x$反色。当所有点都为黑或白的时候停止。问期望经过路径的总长。

$50\% :n\leq 10^2$
$100\% :n\leq 10^5$

---

分析

这道题显然是用期望的线性性，但是怎么去拆就会有很大的不同。

首先有一个技巧就是一般来说贡献可以写成“期望次数$\times$权值”的形式。

部分分

考虑拆成一对有序点对$(x, y)$间路径的期望贡献。
具体来说怎么去算呢？

那么我们这里只关心黑点情况以及当前在不在点$x$处，就可以写出转移了。
记$f_{cx, cy, bc, isx}$表示$x, y$的颜色分别为$c_x, c_y$，除$x, y$以外还有$bc$个黑点，$isx$表示当前所在点是否为点$x$，这个状态下，$(x, y)$这段路径被经过的期望次数。（显然单独看经过次数这个角度任意的$y$都是等价的，因此我们这里并不强调$y$的不同）
那么接下来就是考虑这个状态下下一步转移到什么状态，记当前状态为$now$。

• 当$isx=1$
  
  • 转移到一个普通点$y$
    
    • $y$是白点，对$now$的贡献为$\frac{n-2-bc}{n}f_{cx, cy, b+1, 0}$
    • $y$是黑点，对$now$的贡献为$\frac{bc}{n}f_{cx, cy, bc-1, 0}$
  • 转移到自己，$\frac{1}{n} f_{!cx, cy, bc, 1}$
  • 转移到$y$，$\frac{1}{n} (f_{cx, !cy, bc, 0}+1)$

  同理不难写出当$isx=0$时的转移。
  对这些方程进行高斯消元就可以了，答案显然就是枚举任意一对有序点对计算贡献。

  正解

  考虑拆成从每个点出发的期望代价乘上到达每个点的期望次数。

  只要没结束的情况下，从一个点出发的期望显然就是所有点到它的距离和的平均数。

  而与期望次数有关系的，仅仅是当前局面的黑点数量。
  然后因为这道题目中高度的对称性，当黑点数量固定的时候，每个黑(白)点的期望经过次数时一样的（它甚至不与这个点是谁有关）。

  那么这里考虑这样子去设计DP。令$f_{i, 0}$表示有$i$个黑点时，黑点的期望经过次数。类似地定义$f_{i, 1}$表示白点期望次数。
  考虑转移

  $$f_{i, 0}=\frac{n-i}{n}f_{i+1, 0}+\frac{i-1}{n} f_{i-1, 0}+\frac{1}{n} (f_{i-1, 1}+1)$$

  分别表示到了一个普通白点，一个普通黑点，或者到了它自己，同理写出$f_{i, 1}$的转移

  $$f_{i, 1}=\frac{i}{n} f_{i-1, 1} + \frac{n-i-1}{n} f_{i+1, 1}+\frac{1}{n}(f_{i+1, 0}+1)$$

  但是注意，假如我们转移到一个终止态时，不要加一。因为它不再走出去了。
  由于开始时我们从随机一个点出发，我们需要将每个期望次数都加上$\frac{1}{n}$

  注意到这里转移既关于$i-1$，又关于$i+1$，裸上高斯消元可以，但是复杂度难以接受，我们需要考虑更好的做法。

  首先我们有$f_{0, 0\cdots 1}$以及$f_{n, 0\cdots 1}$都是已知的$0$。
  移项，发现$f_{i+1, 0}$依赖于$f_{i-1, 0\cdots 1}$和$f_{i, 0}$。
  而$f_{i+1, 1}$依赖于$f_{i+1, 0}, f_{i-1, 1}, f_{i, 1}$

  那么考虑将每一个状态都表示成$af_{1, 0}+bf_{1, 1}+c$的形式。
  到$f_{n-1, *}$的时候，根据未移项的式子写出二元一次方程组，就可以解出$f_{1, 0\cdots 1}$，接着递推回来我们就可以得到所有的$f$

  至此，这道题目就做完了，是一道很不错的概率题。

  时间复杂度$O(n)$
  空间复杂度$O(n)$