【COCI 2012】踢足球

题目大意

两队共$2n$个球员进行足球比赛，分别编号为$0$到$n-1$，每一时刻会等概率地发生以下三种事件之一

• 带球球员将球传给某个队友
• 带球球员被某个敌方球员截走
• 带球球员射球，有$p$的概率射中，无论是否射中，球都交给敌队$0$号球员

比赛在经过$T$秒或者某队比分到达$m$时结束。
现给出每个人射入的概率，以及传球或被截的人。
问比赛结果为每种可能的比分的概率。

$n<=100, T<=500, m<=10$

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分析

裸的DP

设$f_{i, j, Ti, k, l}$为球在$i$队$j$号球员身上，比赛到$Ti$时刻，得分为$k:l$的概率。
只需要按照题目描述转移就可以了。

更好的DP

我们只关注得分情况，而其中的运球并没有什么卵用。不妨记一个状态$g_{i, j, Ti}$表示$i$队开球，经过$Ti$秒后$j$队得分，转移时改用$g$转移。而主状态也相应改为$f_{i, Ti, k, l}$为$i$队开球，当前时刻为$Ti$，比分为$k:l$的概率，则有

$f_{1-j, Ti+x, k+!j, l+j}=f_{i, Ti, k, l}\cdot g_{i, j, x}$

其中$j\in[0, 1],x\in[1, T-Ti]$
计算主状态的总时间复杂度降到$O((TR)^2)$
至于$g$的转移也不难，不妨记$h_{i, j, k, Ti}$表示$i$球队开球，当前球在$j$队的$k$号球员身上，时间过了$Ti$秒的概率，那么

$g_{i, j, Ti+1}=\sum_{k=0}^{n-1}h_{i, j, k, Ti}\cdot p_{j, k}$

其中$p_{j, k}$表示$j$队$k$号球员射入的概率。
计算$g$数组的总时间复杂度是$O(nT)$
那么剩下的就是如何计算$h$的问题了，按题目描述转移即可。

$h_{i, p, x, Ti+1}=h_{i, j, k, Ti}\cdot p_{j, k, p, x}$

其中$p$和$x$表示球在下一秒转移到$p$队的$x$号球员身上。
$h$的转移总时间复杂度是$O(n^2T)$的。

问题到这基本上就解决了。
注意一个小问题，我们还需要维护一个$delay_{i, T}$表示$i$队开球后一直没有进球过了$T$秒。这是为了算从某个时刻就没有进球到全场结束这种情况对答案的贡献。
其中还有一个技巧就是把设不中视为被敌方号截球。
大致上就这样了。