【JZOJ 4353】distance

题目描述

给出平面上$n$个点，每个点有一种颜色，问不同色的点之间最远距离是多少。

$n\leq 2.5\times 10^5$

---

分析

首先有一个显然的结论是最远点必定在凸包上。
然后有一个显然的结论是三分是错的。

这道题的核心在于$minkovski\ addition$

$minkovski\ addition$是在点集上的二元运算，得到一个新的点集$C$。
$C=A+B=\{ (x, y)|x=x_a+x_b, y=y_a+y_b, (x_a, y_a)\in A, (x_b, y_b)\in B \}$
简单来说就是从$A$点集和$B$点集中任取一个点，将他们的坐标分别加起来得到新的点集合。

对应地我们可以定义$minkovski\ difference$，只需要将$B$点集中的点全部以原点为中心作对称点，然后求$minkovski\ addition$就可以了。

显然我们直接地求这个玩意是$O(n^2)$的，并没有什么卵用。
但实际上我们求两个凸包的$minkovski\ addition$是可以做到线性的，只需要将两个凸包的边集按照极角序合并一下就可以了。
简单证明一下

• 两个凸包的$minkovski\ addition$必定是凸包
• 原来两个凸包上的边必定在新的凸包上出现
• 新的凸包上的边必定在原来两个凸包上出现

证毕

然后就可以做题了。考虑按照颜色分治一下，求一下凸包再求$minkovski\ difference$，问题就变成了求离原点的最远点，扫描一下就可以了。

时间复杂度$O(n log n)$
空间复杂度$O(n)$