【五校联考】集体照

题目描述

有$n$种颜色， 每种颜色$i$有$a_i$个互不相同的元素，把这$\sum_{i=1}^n a_i$个元素进行排列，要求颜色相同的元素不能相邻，问排列数是多少。

$n, a_i\leq 50, \sum_{i=1}^n a_i\leq 1500$

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思路

首先根据先组合，后排列的原则，我们只要求出元素间无差别的方案数，将它乘上$\prod_{i=1}^n a_i!$就可以了。

接下来，可以使用插空法的思路。
然而这里因为存在多组不能相邻的元素，也就是说，这一组在插入的时候可以暂时存在相邻的元素。
我们设状态$f_{i, j}$表示前$i-1$组元素排列好后，还有$j$个空隙是不合法的方案数。

那么对当前插入的一堆元素，记数量为$a_i$个。
首先要将它分拆$k$组，$0<k\leq a_i$，方案数为$\dbinom{a_i-1}{k-1}$
而我们将它分拆成$k$组以后，可能会导致新的非法空隙产生，具体数量是$a_i-1-(k-1)=a_i-k$个
那么这$k$组我们又可以分配若干组去消除一些原来的非法空隙，不妨枚举消除了$l$个，$0\leq l\leq min(k, j)$
那么我们从中选出$l$个的方案数是$\dbinom{k}{l}$
从其余的空位中选出$k-l$个的方案数是$\dbinom{\sum_{x=1}^{i-1}a_i+1-j}{k-l}$
那么新状态的不合法空隙数应该是$j'=j-l+(a_i-k)$个

于是递推方程就很显然了

$\dbinom{a_i-1}{k-1}\dbinom{k}{l}\dbinom{\sum_{x=1}^{i-1}a_i+1-j}{k-l}f_{i, j}\rightarrow f_{i+1, j-l+(a_i-k)}$

枚举$k$和$l$就可以了。

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时间复杂度：$O((\sum_{i=1}^n a_i)a_i^2)$
空间复杂度：$O(\sum_{i=1}^n a_i)$